Frage von Thomas11111, 343

Matherätsel Gleichseitiges Dreieck?

Ein Bauer stirbt. Er vererbt sein Land an seine Frau und seine beiden Kinder. Die Frau soll viermal soviel Fläche Land bekommen wie jedes der Kinder. Das Grundstück hat kurioserweise exakt die Form eines gleichseitigen Dreiecks. Aus Gerechtigkeitsgründen soll jedes der drei Teilstücke die gleiche Form haben. (Das Teilstück der Frau soll also um den Faktor zwei vergrößert sein, aber ansonsten dieselbe Form haben wie das Stück eines jeden Kindes.) Wie wird das Land geteilt?

Antwort
von schmidtmechau, 142

Hallo Thomas11111,

das erste Problem mit UncelBens Dreieck: Es ist nicht gleichseitig, sondern gleichschenklig-rechtwinklig.

Trotzdem glaube ich, dass das die eigentliche Lösung des Problems ist, das gleichseitige Dreieck in vier gleiche Teile zu teilen. Meine Lösung 1.

Da gibt es dann allerdings noch ein Problem mit Deiner Aufgabenstellung: Zuerst schreibst Du die Frau soll viermal soviel Land bekommen wie jedes der Kinder. Das würde bedeuten, man müsste das Dreieck in sechs Teile aufteilen, von denen dann vier zusammengenommen dieselbe Form haben, wie die beiden übrig gebliebenen.

Das Dreick in drei formgleiche und gleichgroße Dreicke zu teilen ist
möglich (meine Lösung 2), allerdings sehe ich bisher nicht die Möglichkeit, diese erneut so zu teilen, dass aus vier davon wiederum die gleiche Form entsteht, wie die beiden Reststücke.

Am Ende schreibst Du allerdings, das Teilstück der Frau soll um den Faktor zwei vergrößert sein. Damit wären wir dann doch wieder bei vier Teilen.

Gruß Friedemann

Kommentar von MusiToo ,

Vermutlich geht es um die 4fache Fläche; lediglich die Seitenlängen des Mutter-Dreiecks sollen wohl gegenüber den Kinder-Dreiecken verdoppelt sein...

Antwort
von MusiToo, 105

Nach vielem Hin- und Herrechnen mit diversen Dreiecksformen innerhalb der Ursprungsfläche, kann die Lösung m.E. nur auf zusammengesetzten gleichseitigen Dreiecken beruhen.

Teilt man die Seiten eines gleichseitigen Dreiecks auf, dann nimmt die Zahl der kleinen Dreiecke quadratisch zu. Ohne Teilung = 1 Dreieck, Seite durch 2 = 4 Dreiecke, Seite durch 3 = 9 Dreiecke, ...

Wir suchen nach einer Flächenteilung 1:1:4, benötigen also eine Dreiecksanzahl, die durch 6 teilbar ist. Die kleinste, die hier geht, ist 36 (bei Teilung der Seiten durch 6).

Bild anbei - jetzt muss (hoffentlich) nur noch eine Lösung gefunden werden, wie die kleinen Dreiecke im Verhältnis 6:6:24 zusammengefügt werden und dann auch noch formgleich sind.

Freue mich über eure Ideen...

Antwort
von MusiToo, 54

Der Ansatz von Friedemann sieht sehr gut aus und passt genau zu meiner vorherigen Annahme, dass die Flächen aus kleinen gleichseitigen Dreiecken zusammengesetzt sein müssen. Vielen Dank!

Prüft man die notwendigen Längenverhältnisse der Seiten der Figuren, dann ergibt sich für das Überschneidungsdreieck in der Kinderfläche eine Seitenlänge von 1/12 der Seite des Gesamt-Grundstücks.

Es reicht also nicht, die Seiten in Sechstel zu teilen, wie im meinem früheren Bild, sondern es werden Zwölftel benötigt. Hierdurch entstehen 144 kleine Dreiecke, die sich im Verhältnis 1:1:4 in 24:24:96 Dreiecke aufteilen.

Mit Friedemanns Aufteilungsplan ergibt sich so das beigefügte Bild als Lösung (sofern die kleinen Kinderflächen spiegelverkehrt zur Mutterfläche sein dürfen).

Diese Problemstellung war interessant und die gemeinsame Grübelei über Tage hinweg hat mir Spass gemacht!

Kommentar von schmidtmechau ,

Hallo MusiToo,
das finde ich ja klasse, dass sich tatsächlich noch jemand daran gemacht hat, meine Lösung zu vervollständigen!

Super gemacht. Mein Kompliment!

Gruß Friedemann

Antwort
von schmidtmechau, 48

Hallo Thomas11111, 

nochmal ein neuer Versuch. Das ist noch nicht wirklich berechnet, so dass die Verhältnisse 4:1:1 möglicherweise nicht exakt sind. Aber so müsste es doch gehen, oder? Vielleicht hat ja jemand anderes noch Zeit und Lust, sich an die exakte Berechnung zu machen!

Gruß Friedemann

Kommentar von MusiToo ,

Hab deinen guten Ansatz verwertet. Sie unter Antworten.

Antwort
von NoHumanBeing, 150

Also ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge d hat den Flächeninhalt: A = (d² * sqrt(3)) / 4

Oder umgekehrt: d = sqrt((A * 4) / sqrt(3))

Nehmen wir mal an, die Seitenlänge des Grundstücks sei l = 1.

Dann gilt: A_ges = sqrt(3) / 4

Die Frau soll viermal so viel Fläche bekommen, wie die Kinder, also bekommt sie (2 / 3) * A_ges und die Kinder bekommen jeweils A_ges / 6. In Summe ist es dann wieder A_ges, denn (2 / 3) + 2 * (1 / 6) = 1.

Also hat das Grundstück der Frau die Fläche: A_Frau = (2 / 3) * A_ges = (2 / 3) * (sqrt(3) / 4) = sqrt(3) / 6

Und das Grundstück der Kinder die Fläche: A_Kind = (1 / 6) * A_ges = (1 / 6) * (sqrt(3) / 4) = sqrt(3) / 24

Um das Grundstück aufzuteilen, benötigen wir sechs rechtwinklige Dreiecke. Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks mit Kathetenlängen a und b lautet: A = (a * b) / 2

Eine Kathete eines der Dreiecke muss halb so lang sein, wie die Seitenlänge l des gleichseitigen Dreiecks, also a = (l / 2). Da wir wissen, wie groß die Fläche ist, können wir die Länge der anderen Kathete berechnen.

Einfach die obige Formel nach b umstellen: b = (A * 2) / a

Nun a = (l / 2) einsetzen: b = (A * 2) / (l / 2) = (A * 4) / l

Bzw. für die Frau: b_Frau = (A_Frau * 4) / l = ((sqrt(3) / 6) * 4) / 1 = (2 * sqrt(3)) / 3

(Eigentlich "* l".)

Und für die Kinder: b_Kind = (A_Kind * 4) / l = ((sqrt(3) / 24) * 4) / 1 = sqrt(3) / 6

(Ebenfalls eigentlich "* l".)

Damit haben wir im Grunde die gesamte Geometrie beschrieben. :-)

Ich hoffe, ich habe keinen Fehler gemacht bei so viel Trigonometrie. ;-)

Kommentar von NoHumanBeing ,

Mmh nee, ich glaube, ich habe mich geirrt.

Mit den gleichseitigen Dreiecken klappt es nicht, weil jedes Kind dann ein rechtwinkliges Dreieck bekommt, die Frau aber einen Zusammenschluss zweier gleichschenkliger Dreiecke.

Aber die Flächenverhältnisse sollten zumindest stimmen. ;-)

Kommentar von Mikkey ,

Ich vermute, die Lösung liegt im zweiten Bild von Friedemann. eines der Drittel wird durch eine nicht gerade Linie geteilt, so dass die beiden Teilstücke ähnlich zu der Restfigur sind.

Kommentar von NoHumanBeing ,

Das sind aber alles Drittel. Ein gleichseitiges Dreieck dritteln ist jetzt nicht soooo schwierig und geht auch mit "geraden Linien". Einfach eine von jedem Eckpunkt zum Mittelpunkt des Dreiecks. ;-)

Antwort
von Mikkey, 120

M.E. geht das nicht, Du kannst aus einem gleichseitigen Dreieck keine zwei sechstel-Dreiecke herausschneiden, wenn das übrig bleibende Stück auch noch ein Dreieck bleiben soll.

Rätsel richtig wiedergegeben?

Kommentar von Thomas11111 ,

Ja das Rätsel ist richtig wiedergegeben. Die Form muss nicht zwingend ein Dreieck sein, nur mit anderen Formen habe ich bis jetzt auch keinen Erfolg gehabt.

Kommentar von Mikkey ,

Was von

Das Grundstück hat kurioserweise exakt die Form eines gleichseitigen Dreiecks. Aus Gerechtigkeitsgründen soll jedes der drei Teilstücke die gleiche Form haben.

Gehört denn nicht zum Rätsel?

Kommentar von Thomas11111 ,

Sorry, meine Antwort ist schlecht formuliert. Das Grundstück hat die Form eines gleichseitigen Dreiecks. Nur muss dieses nicht notwendigerweise wieder in Dreiecke zerlegt werden.

Kommentar von NoHumanBeing ,

Nein, sie war schon richtig formuliert. ;-)

Aus Gerechtigkeitsgründen soll jedes der drei Teilstücke die gleiche Form haben.

Heißt: Die Teilstücke sollen jeweils die gleiche Form haben (aber nicht notwendigerweise die gleiche Form wie das gesamte Grundstück).

Kommentar von Mikkey ,

Sie war zumindest missverständlich formuliert:

... die Form eines gleichseitigen Dreiecks. Aus Gerechtigkeitsgründen soll jedes der drei Teilstücke die gleiche Form haben.

Kommentar von NoHumanBeing ,

Eigentlich nicht.

Das Grundstück hat kurioserweise exakt die Form eines gleichseitigen Dreiecks.

Das gesamte Grundstück, das geteilt werden soll, hat die Form eines gleichseitigen Dreiecks.

Aus Gerechtigkeitsgründen soll jedes der drei Teilstücke die gleiche Form haben.

Jedes der drei Teilstücke hat die gleiche Form, wie die anderen beiden Teilstücke (aber nicht notwendigerweise die gleiche Form, wie das gesamte Grundstück).

Ich glaube aber irgendwie gerade nicht, dass das möglich ist. ;-)

Kommentar von Mikkey ,

Das geht zwar eher in Richtung Sprachsemantik - wenn ein Begriff (hier "Form") wiederholt wird, wird ein kausaler Zusammenhang hergestellt (die gleiche Form = die eines gleichseitigen Dreiecks), deshalb hat der Rätseltext dieses Missverständnis provoziert.

Antwort
von MusiToo, 90

Sorry, die Bilder werden beim Einfügen immer gnadenlos abgeschnitten - deshalb noch einmal eingefügt.

Kommentar von Thomas11111 ,

Danke für deine Idee. Bleibt nur das Problem mit derselben Form...

Antwort
von MusiToo, 111

Ich denke, wir benötigen 6 gleiche Teile, von denen die Kinder je 1 Teil bekommen und die Mutter 4 Teile.

Mittelsenkrechte auf jede Seite -> schneiden sich in einem Punkt -> 6 gleichgroße Stücke

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