Frage von pinkunicorn21, 78

Matheprobleme - Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck Kann mir jemand dieses Beispiel erklären?

Hallo liebe Community,

Ich (Schülerin, 16 Jahre) habe am Donnerstag eine wichtige Prüfung in Mathematik, und da es bis dorthin nur noch knapp 3 Tage sind, habe ich mir vorgenommen so lange wie möglich wach zu bleiben, um mich Übungsbeispielen zu widmen.

Nun zu meinem Problem:

Von einer Plattform eines Turmes, von dem aus in gerader Richtung eine Straße führt, sieht man zwei 200 m voneinader entfernte Punkte auf der Straße unter einem Tiefenwinkel von Alpha = 40,4 Grad und Beta = 10,6 Grad

Wie hoch ist der Turm?

Ergebniss sollte sein: ca. 48 m

Ich wäre sehr dankbar falls es unter euch jemanden gäbe der mir den korrekten dazugehörigen Rechenweg erklären könnte ;-)

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 18

Im Anhang habe ich die eine Skizze gemalt.

Du kannst zwei Gleichungen aufstellen:
(Angaben im Gradmaß)

I  tan(10,6) = h/(s + 200)
II tan(40,4) = h/s

Damit hast du ein lineares Gleichungssystem - wenn du dieses auflöst, kommt die folgende Lösungsmenge zustande:

IL = {(47,979387 | 56,37559)}

Nur der erste Teil des Tupels (h) ist interessant, das ist nämlich die Höhe des Turms.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

PS: Wenn du Hilfe beim Lösen des Gleichungssystems brauchst, melde dich einfach. ;)

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 17

Am besten machst du dir erst eine Skizze:
einen senkrechten Strich für den Turm, an den du auch noch x schreibst, weil diese Höhe gesucht wird.
Am Fuß bringst du einen rechten Winkel an, das ist der Boden.
Jetzt zeichnest du noch zwei schräge Striche von der Turmspitze zum Boden.
Das gibt oben zwei Winkel. In den kleineren schreibst du ß, in den größeren α.
Wo du unten die Endpunkte der Winkel hast, schreibst du noch A und B an die Punkte. Und unten an den Turm schreibst du F (Fußpunkt).
Das Ganze heißt dann Planfigur.

Aud die Größen kommt es nicht an, wir brauchen nur die Beziehungen zueinander.

Gegeben sind AB, α und ß.

Jetzt kannst du die Winkelfunktionen schon ablesen:

tan α = AF / x       das ergibt: AF = x * tan α
tan ß = BF / x       das ergibt: BF = x * tan ß

Du erkennst auch AB.
AB = AF - BF
AB = x * tan α - x tan ß           AB ist gegeben mit 200 m, daher
x * (tan α - tan ß) = 250

x = 200 / (tan α - tan ß)

Bist du sicher, dass alle Angaben stimmen.
Mein Turm wird nämlich zu hoch.

Kommentar von Volens ,

Vermutlich stimmen deine Angaben doch. Und ich habe die Winkel falsch angesetzt. Ich habe die Peilwinkel für α und ß genommen, nicht die Neigungswinkel.
Daher musst du α ersetzen durch (90°- α) und ß durch (90° - ß).
Dann kommt das Richtige heraus bei der Formel.

Antwort
von oetschai, 14

Nun... der "korrekte" Weg ist der, erst einmal eine Skizze von der Situation anzufertigen und da hinein alle bekannten Winkel und Maße (die 200m) einzutragen.

Anhand der Skizze wird der weitere Rechenweg (heißer Tipp: Tangens heißt ein hilfreicher Freund...) augenscheinlich.

Das genauere Ergebnis: Die Höhe des Turmes (bzw. der Augenhöhe, von der aus die Punkte beobachtet werden), beträgt 47,9794m.

Antwort
von yougotananswer, 38

Hast du eine Skizze?

Kommentar von pinkunicorn21 ,

Es ist Teil der Aufgabe die Skizze herauszulesen

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