Frage von sethy3, 80

mathematische Integration?

Kann mir jemand die Stammfunktion von x * (e ^ 2x) in Schritten zeigen ? Habe grosse Mühe mit dieser Aufgabe.

Herzlichen Dank im vorraus

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 9

Hallo,

wenn Du das Produkt zweier Funktionen f und g integrieren mußt, brauchst Du die Methode der partiellen Integration.

Sie funktioniert nach folgendem Schema:

∫(f'·g)=f·g-∫(f·g') oder ∫(f·g')=f·g-∫(f'·g)

Du betrachtest also eine der beiden Funktionen, die multipliziert werden, als eine Ableitung, zu der Du die Stammfunktion bestimmst.

In Deinem Fall hast Du die beiden Funktionen f(x)=x und g(x)=e^(2x).

Von einer dieser beiden mußt Du im Laufe des Verfahrens die Stammfunktion suchen, die andere mußt Du ableiten. Welche dabei welche ist, mußt Du selbst entscheiden. Eine Entscheidungshilfe ist folgende: Ergibt die Ableitung einer der beiden Funktionen eine Konstante (verschwindet also das x), wählst Du diese als abzuleitende Funktion. Hast Du eine Funktion mit e^x dabei oder so etwas ähnlichem wie e^x, suchst Du dazu die Stammfunktion, weil diese nicht viel komplizierter wird als die Grundfunktion, da f(x)=e^x gleichzeitig f'(x) als auch F(x) ist, denn e^x leitet auf sich selbst ab.

Hier hast Du beides: Die Ableitung von x ist 1, während das Integral von e^(2x)=½·e^(2x) gemäß der Regel: f(x)=e^(ax); F(x)=(1/a)·e^(ax)+C (dieses +C lasse ich im folgenden weg, weil es für die Berechnung unerheblich ist; es ist nur ein Hinweis darauf, daß man schließlich nicht wissen kann, aus welcher Funktion genau eine Ableitung gebildet wurde, weil eine Konstante beim Ableiten verschwindet. f'(x)=2x kann aus f(x)=x² entstanden sein, aber auch aus f(x)=x²+5 oder x²-3,147 oder woraus auch immer. Wir wissen es einfach nicht, deshalb schreiben wir beim Bilden der Stammfunktion am Ende dieses +C hin, das für alle möglichen Konstanten steht.

Du sagst also: f(x)=x, g'(x)=e^(2x)

Dann ist f'(x)=1 und g(x)=½·e^(2x)

∫(x·e^(2x)=x·½·e^(2x)-∫1·½·e^(2x)

Du hast also f(x)=x erst einmal gelassen, wie es ist und mit der Stammfunktion mit e^(2x) multipliziert, davon hast Du das Integral des Produktes der Ableitung von f(x)=x, also f'(x)=1 und noch einmal g(x)=½·e^(2x) subtrahiert.

Jetzt hast Du zwar immer noch ein Integral übrig, es ist aber kein Produkt mehr von zwei Funktionen, in denen x als Variable vorkommt. Aus dem x der ursprünglichen Funktion ist ja die 1 der Ableitung geworden, ein bloßer Faktor also, der beim Integrieren einfach erhalten bleibt.

Das Integral von ½·e^(2x) ist jetzt einfach zu bilden. Du mußt nur die Stammfunktion von e^(2x), also ½·e^(2x) (das hatten wir schließlich schon), mit dem Faktor ½ multiplizieren. So kommst Du auf ¼·e^(2x)

Setzen wir die Geschichte zusammen:

∫(x·e^(2x))=x·½·e^(2x)-¼·e^(2x)

Nun kannst Du noch ½·e^(2x) ausklammern:

F(x)=½·e^(2x)·(x-½)+C

Das war's schon. Du mußt bei der partiellen Integration nur darauf achten, daß auch unter das Restintegral noch einmal die Stammfunktion einer der beiden Funktionen und die Ableitung der anderen Funktion kommt und daß dieses Restintegral so einfach wird, daß es ohne weitere Probleme aufzulösen ist.

Wenn Du es mit Kreisfunktionen wie dem Sinus zu tun hast, mußt Du das Verfahren manchmal doppelt anwenden, bis Du wieder auf ein Restintegral kommst, das dem ursprünglichen Integral gleicht, so daß Du beide zusammenfassen kannst. Aber das wird man Euch noch beibringen.

Gib nicht gleich auf. Das Integrieren ist ungleich schwieriger als das Ableiten und braucht regelmäßige Übung und einige Erfahrung. Probleme am Anfang sind völlig normal. Die hat jeder, wenn er nicht gerade ein Genie ist.

Viel Erfolg,

Willy

Kommentar von Willy1729 ,

Vielen Dank für den Stern.

Willy

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 24

Wenn dir partielle Integration kein Begriff ist, solltest du warten, bis ihr in der Schule darüber gesprochen habt. Sonst hast du wenig Chancen, hinter dieses Integral zu kommen.

Warum willst du es überhaupt integrieren?
Dass du noch Stammfunktion sagst, zeigt eigentlich, dass ihr noch nicht sehr weit seid mit dem Integrieren. Da bekommt man dann auch nicht solche Aufgaben.

Kommentar von IwanKaramasow ,

Warum? Nach dem Hauptsatz  der Differential- und Integralrechnung bedeutet Integrieren: Stammfunktion finden.

Kommentar von Volens ,

Wenn du die Stammfunktion
1/2 e^(2x) ( x - 1/2)
erahnen könntest (ich habe die von Ellejolka genommen, weil meine Lösung wieder weg ist, die ich vorhin mit Wolfram errechnet hatte - aber sie stimmt ja auch), dann würdest du tatsächlich nach dem Hauptsatz mit Ableiten wieder die gegebene Funktion erreichen können. Das Problem ist: man kann die Stammfunktion nur bei sehr einfachen Integralen erahnen.

Hier ist ohne partielle Integration nichts zu machen!

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 37

https://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_Integration

und wähle: f ' = e^(2x) und g = x

dann f = 1/2 • e^(2x) und g ' = 1

Kommentar von sethy3 ,

Ich bin nicht sehr gut in Mathe, könntest du mir es ev. erklären. Habe etwas Mühe mit dem Wikipedia-Artikel.

Kommentar von Ellejolka ,

das kann man auch nicht in einer Minute verstehen, wenn man das noch nie gemacht hat! mehr Geduld :)

in Formel einsetzen;

x • 1/2 e^(2x) - Int (1/2 e^(2x))

= x • 1/2 e^(2x) - 1/4 e^(2x)

= 1/2 e^(2x) ( x - 1/2)

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 40

Ist dir partielle Integration ein Begriff? ^^

LG Willibergi

Kommentar von sethy3 ,

nein...

Kommentar von Willibergi ,

Dann solltest du das ändern. ^^

LG Willibergi

Kommentar von sethy3 ,

danke... nehme ich an :)

Kommentar von Willibergi ,

Gern geschehen! ;)

LG Willibergi

Kommentar von Rhenane ,

starker Dialog :)

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