Frage von mx4flavour, 45

Mathematische Frage zum Wüfelspiel (Stochastik)?

Aufgabe: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit beim Kniffel mit 5 Würfeln eine große Straße zu Würfeln?

Mein Lehrer hat nun in der Lösung als GESAMTZAHL aller möglichen Ereignisse 6^5 angegeben. Aber warum? Es ist doch theoretisch völlig egal ob ein Würfel mit einer 5 z.B am Anfang oder am Ende liegt, es gibt ja kein Anfang oder ende, das heißt, dass z.b die Kombinationen 4,4,2,6,2 und 4,2,6,4,2 als EIN Ereignis angesehen werden kann, da ja alle Zahlen gleich sind , es gibt ja keine Reihenfolge.. aber warum dann 6 hoch 5?

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik & Schule, 7

Hallo,

Du kannst Dir das auch anders klarmachen:

Für eine große Straße brauchst Du auf jeden Fall 2,3,4 und 5. Dazu  kommt entweder die 1 oder die 6.

Stell Dir vor, Du würfelst fünfmal mit einem Würfel anstatt mit allen auf einmal (kommt im Endeffekt aufs Gleiche raus, ist aber einfacher mathematisch zu beschreiben). Weiter nehmen wir fürs Erste an, die Reihenfolge würde eine Rolle spielen.

Dann müßte beim ersten Wurf eine 1 oder eine 6 fallen, Wahrscheinlichkeit 1/3.

Beim 2. Wurf eine 2, beim 3. eine 3, beim 4. eine 4, beim 5. eine 5, Wahrscheinlichkeit jeweils 1/6, Gesamtwahrscheinlichkeit für eine große Straße also (1/3)*(1/6^4).

Das gilt aber nur, wenn die Reihenfolge eine Rolle spielt. Da sie das nicht tut, kannst Du das Ganze nun mit der Zahl der unterschiedlichen Anordnungen von fünf Würfeln multiplizieren. 5 Dinge kannst Du auf 1*2*3*4*5=5! Arten anordnen.

Die Wahrscheinlichkeit, bei einem Wurf mit fünf Würfeln eine große Straße zu haben, liegt somit bei 5!*(1/3)*(1/6^4)=0,031 oder 3,1 %.

Beim wirklichen Kniffel aber wird's komplizierter, weil Du insgesamt dreimal würfeln darfst und jeweils die passenden Würfel weglegen kannst.

Da mußt Du dann alle Fälle unterscheiden, je nachdem, wieviele Würfel beim ersten, zweiten und dritten Mal zur großen Straße passen. Das gibt ein verdammt umfangreiches Baumdiagramm.

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von Wechselfreund, 17

Würfel als unterscheidbar betrachten! Jeder Würfel hat 6 Seiten! 6^5 Möglichkeiten!

Jetzt die Treffer: erst mal 1 2 3 4 5: Die 1 können 5 Würfel zeigen, dann bleiben für die 4 vier Plätze und so weiter , -> 5!

Das gleiche für die andere Straße -> 5!

W. keit gü / mö = 2·5!/6^5.

Antwort
von bergquelle72, 17

das Vorgehen des Lehrers orientiert sich an genau dem einfachsten Modell. Es geht darum auf sogenannte Elementarereignisse runter zu gehen, die alle die gleiche Wkt haben.

1. Würfel: 6 Möglichkeiten

2.Würfel 6 Möglichkeiten 

--> zusammen für 2 Würfel: 6*6 Möglichkeiten

....usw.... bei 5 Würfeln: 6*6*6*6*6  Möglichkeiten

das kompliziertere ist jetzt die günstigen abzuzählen .

Wenn Du die Reihenfolge nicht beachtest, (wie in deinem Beispiel) dann erhältst Du Ergebnisse mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten.

Mit folgendem Beispiel kannst Du Dir das klar machen:

Nehme nur 2 Würfel- der eine wäre rot, der andere weiß: eine Doppel-6 zu würfeln kommt genau nur so vor: roter Würfel: 6  UND weißer Würfel: 6

Dafür ist die Wkt 1/36.

Ein Pärchen 5-6 zu würfeln kann folgendermaßen entstehen:

1. roter Würfel: 5  und weißer Würfel: 6

2. roter Würfel: 6 und weißer Würfel: 5

Es sind also zwei Päärchen, die zum richtigen Ergebnis führen, also die Wkt für 5,6 ist 2/36.

Wenn Du das jetzt mit 5 Würfeln durchspielst bekommst du unheimlich viele mögliche 5-Tupel mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten; das kannst Du rechnerisch gar nicht mehr beherrschen

z.B. ist das Ergebnis: 6,6,6,6,6 ganz selten, aber 2,2,3,5,6 kommt viel häufiger vor

alles klar ? wenn nicht dann melde Dich nochmal

Kommentar von mx4flavour ,

Hey, danke für die Antwort. Es geht mir eigentlich darum, dass es beim Kniffelspiel nicht 6^5 verschiedene Kombinationsmöglichkeiten geben kann, es sei denn, die Würfen wären zb farbig markiert. Denn 2 gleiche Zahlen sind ja nicht unterscheidbar. Das heißt ohne Reihenfolge. 

Also meine Hauptfrage ist: WIE berechnet man denn alle Möglichen Ereignisse, wenn die Würfen NICHT unterscheidbar sind, das heißt 11122 und 121112 z.b als EIN Ereignis angesehen werden?

Kommentar von bergquelle72 ,

Wie ich gesagt habe, ist das was Du machen willst sehr kompliziert.

Es ist den Würfeln egal, ob sie gefärbt sind, sie fallen nach den gleichen Prinzipien, egal ob sie unterschiedlich oder gleich gefärbt sind. Das mit den Farbe war ein Hilfkonstrukt von mir um Dir klar zu machen, daß 6,6 zu würfeln schwerer ist als 5,6 zu würfeln (ohne Beachtung der Reihenfolge).

Wenn Du unbedingt 1,1,1,2,2 (ohne Beachtung der Reihenfolge) als ein  Ereignis ansehen willst, dann mußt Du alle Elementarereignisse zusammenzählen, die dazu führen. Und damit mußt Du dann doch wieder alle Möglichkeiten durchzählen, die dazu führen.

Mache Dir klar, daß es nur eine Möglichkeit gibt um 6,6,6,6,6 zu würfeln, aber ganz viele um 1,1,1,2,2 zu würfeln.

Das was Du unbedingt betrachten willst sind eben keine Elementarereignisse sondern Kombinationen von solchen.

Antwort
von Maarduck, 30

Alle Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0 und 1. Also ist das Ergebnis eures Lehrers bestimmt falsch. 

Wie viel verschiedene Würfe gibt es? 6*6*6*6*6/6! = 6^5 = 7776

Wie viel verschiedene Straßen gibt es? 1,2,3,4,5 und 2,3,4,5,6. Also 2. 

Also ist die Wahrscheinlichkeit mit dem ersten Wurf eine Straße zu würfeln

2/...  

Kommentar von Wechselfreund ,

Alle Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0 und 1. Also ist das Ergebnis eures Lehrers bestimmt falsch. 

Wie viel verschiedene Würfe gibt es? 6*6*6*6*6 = 6^5 = 7776

Genau das hat der Lehrer gesagt!

Kommentar von Maarduck ,

WENN er DAS gesagt hat, dann hat er Recht.

Kommentar von Wechselfreund ,

Frage lesen...

Kommentar von Willy1729 ,

Du mußt noch mit der Zahl der Permutationen multiplizieren, also mit 5!, denn die Reihenfolge der Würfel, bzw. welcher Würfel welche Zahl zeigt, ist hierbei egal.

Kommentar von bergquelle72 ,

das geht für dem Frager bestimmt zu schnell; ihm/ihr  ist nicht klar, daß 5,6 nicht gleich wahrscheinlich ist mit 6,6

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