Mathematische Frage zu "unendlich" und damit verbundenen Berechnungen?

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5 Antworten

Unendlich ist kein Ding, mit dem man rechnen kann. Es ist keine feste Zahl, bei der du etwas hinzuaddieren kannst. Deine Grundüberlegungen sind trotzdem nicht ganz falsch. Unendlich + 1 bleibt natürlich unendlich. Es wird dabei aber nicht mehr. Es ist ein bisschen wie im Kindergarten mit dem "immer eins mehr als du" - Spiel.

Um die Aleph-Funktion zu verstehen, mach dir erstmal klar, was verschiedene Unendlichkeitsbegriffe bedeuten. Z.B. beschreibt ja Aleph0 die Mächtigkeit aller abzählbar unendlichen Mengen. Also alle Mengen mit unendlich vielen Elementen, die man aufzählen kann. Zum Beispiel die natürlichen Zahlen (1, 2, 3, .....) können abgezählt werden, sind aber unendlich. Die Anzahl aller solcher Mengen ist Aleph0. Und diese Anzahl an sich ist auch unendlich. Allerdings das "kleinste" Unendlich.

Hingegen sind die rationalen Zahlen überabzählbar. Das heisst, man kann nicht alle aufzählen. Es gilt ja gerade, dass zwischen allen x,y aus den rationalen Zahlen, wobei x nicht y ist, eine weitere Zahl liegt. Nennen wir die z. Dann liegt auch zwischen x und z, und y und z je eine weitere Zahl. Und so weiter. Und das für alle. Darum nennt man die rationalen Zahlen auch eine überabzählbare Menge. Diese enthält mehr Elemente als die natürlichen Zahlen. 

Außerdem kann man (unendliche) Mengen und Kardinalzahlen nicht immer sinnvoll addieren.

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Kommentar von Dommie1306
08.01.2016, 09:57

Ok, das klingt einleuchtend... also einigermaßen.

Aleph0 hatte ich so verstanden und auch gemeint, aber offensichtlich falsch beschrieben:)

Also gehen wir mal davon aus, das Problem mit der Addition hätte ich verstanden.

Wie schaut es mit subtrahieren aus? Also unendlich-1=unendlich?

Oder Konkret: Kannst du meine Frage nochmal unten durchlesen, ich habe eine Ergänzung hinzugefügt...

Danke schon mal! 

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Kommentar von Willy1729
08.01.2016, 10:00

Auch die rationalen Zahlen sind abzählbar. Das geht mit dem Cantorschen Zählverfahren.

Ein Ausschnitt daraus sieht so aus:

...-1/4,-1/3,-1/2,-1/1,0,1/1,1/2,1/3,1/4...
...-2/4,-2/3,-2/2,-2/1,  ,2/1,2/2,2/3,2/4... usw.

Da die Zähler zeilenweise von - unendlich bis plus unendlich gehen
und die Nenner spaltenweise, wird so jede rationale Zahl erfaßt und kann trotzdem abgezählt werden.

Nicht abzählbar sind die irrationalen Zahlen.

Herzliche Grüße,

Willy

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ℵ₀ - 1 würde z. B. dargestellt dadurch, dass du die natürlichen Zahlen ≥ 2 betrachtest. Da sich die Menge {n ∈ ℕ | n ≥ 2} durch n ↦ n-1 bijektiv auf ℕ abbilden lässt, ist in diesem Sinne ℵ₀ - 1 = ℵ₀ .

Ebenso ℵ₀ / 2, was sich z. B. durch die geraden natürlichen Zahlen darstellen lässt.

Aber im allgemeinen lassen sich nur Summen und Produkte von Mengen allgemein wie bei Zahlen definieren, bei Differenzen und Quotienten ist das nicht mehr so ohne weiteres möglich.

Deshalb lassen sich Ausdrücke wie ℵ₀ - ℵ₀ und ℵ₀ / ℵ₀ nicht sinnvoll definieren, obwohl ℵ₀ + ℵ₀ (= ℵ₀) und ℵ₀ * ℵ₀ (= ℵ₀) ohne weiteres als Mächtigkeit einer Vereinigungs- bzw. Produktmenge darstellbar sind.

(Und Ausdrücke wie ℵ₀ - ℵ₁ lassen sich erst recht nicht sinnvoll definieren - die Differenz von Mengen ist nur dann vergleichbar mit der Differenz von Zahlen, wenn der Subtrahend Teilmenge des Minuenden ist, was bei ℵ₀ - ℵ₁ nie sein kann, da der Subtrahend immer echt mächtiger ist als der Minuend. Und es bigt in der Mengenlehre keine "weniger als leeren" Mengen.)

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Anmerkung:

Es gibt in der Mathematik mehrere Konzepte von "unendlich", die z. T. so wenig miteinander zu tun haben wie Trigonometrie mit Primzahlzerlegungen. Z. B. kann man 1/0 = ∞ definieren, aber mit dem Element ∞ kann man auch nicht alle Rechenoperationen durchführen, hier ist nicht nur ∞-∞, sondern auch z. B. ∞+∞ nicht sinnvoll definierbar.

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Kommentar von Dommie1306
08.01.2016, 13:05

Also ich bin mir sicher, dass du das gut erklärt hast... aber ich hab trotzdem kein Wort verstanden:)

Ich drucks mir mal aus und les es in Ruhe nochmal, vielleicht kapier ichs dann leichter:)

Danke

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Hilberts Hotel könnte man auch so schreiben: ∞ + 1 = ∞. Da stimme ich zu. Diese Art "Unendlichkeit" ist von der Art "einer passt immer noch rein" (was impliziert: "abzählbar unendlich" passt auch rein, das Spiel kann man ja beliebig fortsetzen).

Ergo kann man auch sagen  ∞ + n =  ∞. (n = ganze Zahl)

Selbst  ∞ / 2 =  ∞, die Menge der geraden Zahlen ist unendlich, auch wenn sie nur "die Hälfte" aller ganzen Zahlen ist.

 ∞ / n =  ∞ oder auch  ∞ - n =  ∞  oder  ∞ * n =  ∞

Mathematiker schreiben das nicht so (ich weiß), aber ich finde das anschaulicher als andere Formalismen.

Schwieriger wird es, wenn man  ∞ im Nenner hat oder wenn man -∞ rechnet. Vor allem, wenn man 2 "Unendliche" miteinander im Bruch hat oder voneinander subtrahiert. Strenggenommen kann man mit ihnen nicht wie mit finiten Zahlen rechnen (das ist eine der Erkenntnisse, die Hilberts Hotel auch "vermitteln" will).

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Kommentar von OlliBjoern
09.01.2016, 16:40

Vielleicht sollte ich noch ergänzen (beim Multiplizieren oder Dividieren): n = ganze Zahl (ohne die 0)

∞ * 0 ist auch nicht so sehr sinnvoll :)

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Mit unendlich zu rechnen ist nicht leicht, da wie du schon gesagt hast es mehrere Stufen von Unendlich gibt. Wenn man jetzt etwas berechnen will wie z.B. 1/unendlich, dann benutzt man den limes. limx->unendlich(1/x)=0. Du kannst ja mal googlen was es mit dem Limes auf sich hat. ;)

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Kommentar von Dommie1306
08.01.2016, 11:11

Limes kenn ich;) Mir gings nur um das Hotel, wenn ein Zimmer abbrennt (mal ganz salopp formuliert;) Dennoch danke für deine Antwort.

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also erst mal "unendlich" ist keine Zahl, wird auch immer bei Intervallangaben mit runder Klammer ausgegrenzt. Es wird immer zur Grenzwertberechnung herangezogen.

Ich habe folgende "Verbotene Grenzwerte" hier auf einer Liste stehen:

unendlich/unendlich    ,  0/0  , 0* unendlich,  unendlich-unendlich

damit darf also nicht gerechnet werden

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Kommentar von Dommie1306
08.01.2016, 09:46

Das mit den Intervallangaben und "unendlich" als "exklusiv" war mir noch aus der Schulzeit bekannt.

Ich habs vergessen in der Frage mitzuschreiben, hoffe die Änderung wird akzeptiert vom Supportteam:

In dem Buch wurde mir als Leser versucht das Problem mit Hilberts Hotel - also unendlichen vielen Zimmern in einem Hotel - zu erklären. Nun kommt ein unendlich langer Reisebus mit unendlichen vielen Gästen und jeder belegt ein Zimmer. Aber der Busfahrer braucht auch noch ein Zimmer. Und genau das geht, weil unendlich+1=unendlich (soweit ich das kapiert habe).

Aber um bei dem Bild zu bleiben: Wenn jetzt eins dieser unendlich vielen Zimmer renoviert werden muss.. (also unendlich-1), passen dann immer noch unendlich viele Gäste rein?

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