Frage von TobitHD, 79

mathematische aufgabe... wie?

hallo ich habe folgende frage: wie kann man durch eine mathematische rechnung (nich durch Zeichnung/skizze) beweisen, dass es in jedem jahr mindestens einen freitag den 13. gibt? und wie kann man errechnen, wieviele es höchstens geben kann?

vielen dank für eure Antworten (ein ansatz wäre auch schon schön!) ;)

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 21

Hallo,

numeriere die Wochentage von Montag (1) bis Sonntag (7) durch.

Nun brauchst Du für normale Jahre die Kette 
+3+0+3+2+3+2+3+3+2+3+2,

für Schaltjahre:

+3+1+3+2+3+2+3+3+2+3+2

Nun mußt Du nur zeigen, daß Du - egal mit welcher Zahl von 1 bis 7 Du beginnst - Du immer auf eine Zahl kommst, die, wenn sie durch 7 geteilt wird, einen Rest von 5 übrigläßt.

Erklärung:

Wenn Du mit der 1 anfängst, bedeutet das, daß der 13. Januar ein Montag ist.

Der 13. Februar ist dann ein Donnerstag (denn 1+3=4=Donnerstag); der 13. März ist auch ein Donnerstag, weil der Februar in normalen Jahren genau 28 Tage hat, also eine Anzahl, die durch 7 teilbar ist.

Dann geht's weiter: 13. April, Sonntag, denn der März hat 31 Tage =4*7+3, der 13. April fällt damit auf einen Wochentag, der drei Tage nach dem Donnerstag kommt, also auf Sonntag. Im Mai ist es der Dienstag, weil der April 28+2 Tage hat; der 13. Juni endlich ist ein Freitag.

Das Ganze nennt sich Modulo-Rechnung, eine Rechnung, die sich mit ganzzahligen Teilern und den Divisionsresten beschäftigt. Du kannst die 1 bis 7 auch im Kreis anordnen und die einzelnen Summanden im Uhrzeigersinn abzählen, bis Du auf der 5 landest.

Du mußt alle 14 Fälle durchspielen, also Anfangstag 1 bis 7, kein Schaltjahr oder Schaltjahr und so zeigen, daß immer eine 5 dabei ist.

Fällt der 13. Januar auf einen Freitag, fängst Du also mit der 5 an, brauchst Du nicht weiterzumachen - dann hast Du ja bereits Deinen Freitag den 13.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von TobitHD ,

okay vielen dank für die Antwort und auch für die mühe. diese antwort bekommt auf jeden fall den stern :)

Kommentar von Willy1729 ,

Es gibt auch noch eine etwas schnellere Methode. Im Grunde mußt Du ja nur nachweisen, daß beide Summandenketten auf jede Zahl zwischen 1 und 6 führen, so daß Du nur eine Untersuchung für normale und eine für Schaltjahre durchführen mußt.

Erklärung:

Egal, welcher Wochentag auf den 13. Januar fällt - Du kommst auf jeden Fall auf Freitag - wenn er nicht schon selbst einer ist - wenn die Kette auf Summanden führt, die Siebener-Reste zwischen 1 und 6 aufweisen. Die 7 ist hierbei nicht nötig, weil sie wieder auf den Ausgangswochentag führt.

Kette für Normaljahre:

3+0+3+2+3+2+3+3+2+3+2

Wenn Du diese Zahlen aufsummierst und nach der 7 wieder bei der 1 anfängst, also folgendermaßen zählst: 1,2,3,4,5,6,7,1,2,3 usw., so daß 5+3 nicht 8, sondern 8-7=1 ergibt, kannst Du prüfen, ob alle Zahlen von 1 bis 6 auftauchen:

3+0=3+3=6+2=1+3=4+2=6+3=2+3=5 Hier bist Du schon fertig, weil jede Zahl zwischen 1 und 6 hinter einem Gleichheitszeichen auftaucht. Das bedeutet: Egal, auf welchen Wochentag der 13. Januar fällt - es wird immer mindestens einen Freitag den 13. im Jahr geben, weil Du von jeder beliebigen Zahl von 1 bis 7 mit Hilfe der Summanden von 1 bis 6 auf jeden Fall eine 5 erzielst.

Reihe für Schaltjahre:

3+1=4+3=7+2=2+3=5+2=7+3=3+3=6+2=1 Fertig: Jede Zahl von 1 bis 6 ist als Summe aufgetaucht.

Das reicht als Nachweis vollkommen aus.

Wenn Du die Additionen noch nicht verstanden hast, zeichne die Zahlen von 1 bis 7 im Kreis auf und zähle soviel im Uhrzeigersinn ab, wieviel Du jeweils addierst. Dann siehst Du, daß Du, wenn Du von der 6 aus drei Zahlen im Uhrzeigersinn weitergehst, auf der 2 landest, denn nach 6 kommt die 7, dann die 1 und schließlich die 2.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Willy1729 ,

Vielen Dank für den Stern.

Willy

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, 15

Ausrechnen möchte ich das jetzt nicht. Ich schildere dir einen gangbaren Weg:

du stellst für alle 13. Tage in den 12 Monaten eine Tabelle auf, die davon ausgeht, dass der 1. Tag des Jahres ein Sonnabend ist. Dort trägst du die entsprechende Tageszahl des Jahres ein. Das Datum muss natürlich auch in der Tabellenzeile stehen, sonst kannst du es nicht zuordnen.
Diese Zahlen dividierst du durch 7. Wenn es restlos ist, hast du einen Treffer. Der Tag muss auch ein Freitag sein.

Dann muss der Tabellenzahl-Tag ein Freitag, der 13., sein.
Wenn der 1. Tag des Jahres kein Sonnabend ist, erwischst du einen Freitag, den 13., durch eine Verschiebung um die entsprechenden Wochentage.

Für die Anzahl dieser exponierten Tage habe ich keine schnelle Lösung.

Kommentar von TobitHD ,

vielen dank für deine Antwort aber bei der aufgabe geht es nicht darum herrauszufinden welcher tag ein freitag der 13. ist sondern warum es jedes jahr mindestens einen gibt :/

Kommentar von Volens ,

Wenn du mit diesem Verfahren immer einen findest, ist die erste Frage beantwortet. Wenn du überhaupt einen findest, hast du auch mindestens einen gefunden. Mathematische Schlüsse gehen in der Regel so.

Antwort
von Maryondo, 23

365 Tage im Jahr; jeden siebten Tag ein Freitag. Du brauchst auf jeden Fall ein Start-Datum, weil fast jedes Jahr beginnt mit einem anderen Wochentag. Die Monate sind unterschiedlich lang... Wir haben Schaltjahre... Da kommt einiges
durcheinander...

Ich würde versuchen zu ermitteln, wie sich die Wochentage jährlich verschieben. Darauf sollte man aufbauen können.



Antwort
von coccinelle25, 40

also naja du kannst damit anfangen das jeder 7. Tag ein Freitag, ist und im Durchschnitt, jeder 30te Tag ein 13. ist und dann halt irgendwie weiter so...aber um das alles zu erklären bräuchte ich jetzt länger...vielleicht kommste ja jetzt selbst drauf...

Kommentar von TobitHD ,

so weit war ich auch aber nicht weiter :( :D

Kommentar von coccinelle25 ,

und dann das der 13.1.mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/7ein Freitag ist jetzt versatanden?

Kommentar von TobitHD ,

nein, weil es bei wahrscheinlichkeiten immer noch nich ganz sicher ist

Antwort
von asus1994, 22

in welcher Klasse bist du?

Kommentar von TobitHD ,

9. wieso

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community