Frage von FreakyTag, 56

Mathematik Winkel ausrechnen Geometrie?

Ich habe Alpha = 40 ums
Beta = 20 aber wie kommt man auf Gamma ? (Bild)

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik & Schule, 6

Hallo,

Alpha und Beta brauchst Du nicht, um Gamma zu bestimmen.

Die untere Linie ist der Kreisdurchmesser. Nenne ihr linkes Ende A.

AM ist ein Schenkel des Mittelpunktwinkels von 140°. Nenne den Endpunkt des anderen Schenkels, der sich in etwa 2-Uhr-Position auf dem Kreis befindet, B.

Nenne den Schenkel des Winkels Gamma C.

AB ist eine Sehne des Kreises, während AM die Mittelsenkrechte dazu ist.

Wenn Du C mit A verbindest, ist der Winkel ACM genauso groß wie Winkel Gamma.

Erweitere den Halbkreis zu einem ganzen Kreis, bezeichne irgendeinen Punkt unterhalb des Durchmessers mit D und verbinde A mit D und B mit D.

ABCD ist nun ein Sehnenviereck, bei dem Winkel, die sich gegenüberliegen, zu 180° ergänzen.

Wenn der Winkel bei D Delta heißt, gilt: 2*Gamma+Delta=180°.

Delta aber kannst Du nach dem Satz über die Peripheriewinkel bestimmen.

Der Peripheriewinkel ist immer halb so groß wie der Mittelpunktwinkel über der gleichen Sehne.

Winkel AMB ist der Mittelpunktwinkel von 140°.

Winkel ADB ist der dazugehörige Peripheriewinkel von 140/2=70°.

Nach dem Satz von den Sehnenvierecken gilt: Delta+2*Gamma=180°

70°+2*Gamma=180°

2*Gamma=110°

Gamma=55°.

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von Freezo, 9

Das kannst du über das Verhältnis Winkel - gegenüberliegende Seite ausrechnen:

Von dem Dreieck unten links kennst du 2 Winkel, b=20° und den rechten Winkel, mit den 180° im Dreieck kriegst du also die 2 Teilwinkel von den 140° raus, 2mal 70°.

Die Gegenseite von Gamma ist r, die Gegenseite des letzten unbekannten Winkels ist ebenfalls r, der Winkel ist also genau so groß wie Gamma:

180° = 70° + 2 * c
c = 55°

Kommentar von FreakyTag ,

Versteh ich nicht ganz.. kannst du es vielleicht anders erklären ??

Kommentar von Freezo ,

Also dass die 4 Winkel bei dem Kreuz in der Mitte alle 90° sind ist klar oder?! Und dass die Winkel im Dreieck zusammen 180° ergeben auch.

Dann hast du noch die Überlegung/Regel dass je größer ein Winkel desto größer ist auch die gegenüberliegende Seite, also a ~ alpha, b ~ beta usw.

Dementsprechend kannst du Seite und Winkel ins Verhältnis setzen:

a / alpha = b / beta = c / gamma

Daraus folgt dass wenn b und c gleich lang sind (in dem Fall der Radius des Kreises), müssen auch die Winkel beta und gamma gleich sein.

180° = alpha + beta + gamma -> alpha ist bekannt, beta und gamma sind gleich
180° = 70° + 2 * gamma

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