Frage von Computer01, 21

Mathematik, Vektoren, Dreiecksungleichung?

Hallo, ich habe hier eine Mathe Beispiel und bitte um eine einfache, aber gut erklärte antwort weil für mich mathe sehr schwer ist, danke! :) (Die Buchstaben die ich in der gleichung schreibe sollen vektoren sein, also mit einem pfeil drüber) Die folgende Behauptung heißt Dreiecksunglichung: |a+b| ≤ |a| + |b| Mach dir die Bedeutung dieser Ungleichung anhand einer Zeichnung klar! Warum heißt sie Dreiecksungleichung? Versuche diese wichtige Ungleichung für reelle Zahlen zu beweisen!

Antwort
von Spucki12, 10

Ich versuchs dir mal ohne Rechnung bildhaft zu erklären.

Wir nehmen 2 Vektoren, die nich parallel oder identisch sind, sondern in unterschiedliche Richtungen zeigen.

Bei der Vektoraddition, geht man ja zu erst den Weg des ersten Vektors, danach setzt man den zweiten Vektor dran und erhält einen dritten Vektor, der das Ergebnis der Vektoraddition ist. Dieser ist, wenn die ersten beiden Vektoren nicht in die selbe Richtung zeigen, zwangsläufig kürzer, als wenn wir die beiden Vektoren nehmen würden (wie einen Stock in die Hand zum Beispiel) und sie in die gleiche Richtung setzten würden. Wenn man einen Davon etwas abknickt, dann ist der daraus entstehende Vektor zwangsläufig kürzer, als beide zusammen.

So weit verstanden, oder ist das zu komplitziert geschrieben?

Und jetzt kommmen wir zum mathematischen:

Wie eben festgestellt, ist das Ergebnis der Vektoraddition immer kleiner, als die beiden Einzelnvektoren zusammen, wenn man sie theoretisch in die selbe RIchtung laufen lassen würde. Und genau das besagt:

|a| + |b| ≤ |a + b|

Das "kleinergleich" kommt daher, da man auch davon ausgehen könnte, dass beide Vektoren in die selbe Richtung gehen. Dann macht es ja keinen Unterschied ob man die Vektoren zusammen addiert oder sie einzeln zusammenzählt. Dann kommt das selbe raus.

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