Frage von Julia09032001, 109

Mathematik Trigonometrie Sinus, Cosinus und Tangens?

Hallo :-) Warum ist der sin(30) 0,5 und der cos(60) 0,5. Ich muss das bei einer Schularbeit anhand des Einheitskreises erklären können, weiß aber nicht wie das funktioniert. Leider konnte ich keine hilfreichen (oder für mich verständliche) Erklärungen finden. Daher wäre es schön, wenn jemand mir helfen könnte. XD LG und Danke im vorraus. <3

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 43

Du zeichnest dir am besten den ersten Quadranten eines Kordinatensystems (also das Viertel rechts oben) und schlägst mit dem Zirkel einen Viertelkreis um den Ursprung. Den Radius erklärst du zur Länge 1. (Wenn dir dann geometrisch wohler ist, kannst du als Radius auch genu 1 Dezimeter nehmen; aber es ist eigentlich nicht von Belang.)

Du hast ja diese Länge 1 noch im Zirkel  und schlägst vom rechten Schnittpunkt des Kreises (definitionsgemäß (1|0))  einen Kreisbogen, der den Viertelkreis in oben in C schneidet. Wenn du (0|0) und (1|0) mit C verbindest, hast du ein gleichseitiges Dreieck konstruiert, das drei Winkel von 60° haben muss. Jetzt fällst du noch das Lot von C auf die x-Achse. Das wäre eine Höhe h des gleichseitigen Dreiecks.

Der Winkel beim Ursprung ist 60°, der zwischen Höhe und Dreiecksseite ist 30°. Dann kommt jetzt Sinus und Kosinus dran.
sin 30° ist das Stück x-Achse, das von der Höhe ausgeschnitten wird, dividiert durch den Radius 1 (Hypotenuse). Da wir uns in einem gleichseitigen Dreieck befinden, entspricht dieses Stück der Hälfte der gesamten x-Strecke, also 0,5.

Damit hast du den geometrischen Nachweis: sin 30° = 0,5

Da der Sinus dieses Winkel gleich dem Kosinus des anderen sein muss, ergibt sich ganz automatisch
cos 60° = 0,5

Ich bin online. Du kannst in einem Kommentar etwas fragen, wenn es noch nötig ist.

Kommentar von Volens ,

Hier hätte ich mir gewünscht, dass die FS etwas Interesse für die Beantwortung ihrer Frage gezeigt hätte. Nun hoffe ich, dass ich wenigstens einigen anderen mit meinen Erläuterungen habe auf die Sprünge helfen können.

Kommentar von Volens ,

Das finde ich ja gut. Du hast dich doch noch interessiert.
Ich hoffe, du verstehst auch die anfängliche Enttäuschung:
wenn ein Antworter sich etwas ausgeknobelt hat, und es kommt erst mal so gar nichts zurück, dann ist er doch etwas irritiert. (Tatsächlich schreibt man hier bei GF ja auch viel "for nothing".)

Ich hoffe jetzt nur, dass dir meine Erörterung hat helfen können.
Denn das ist ja immer noch die Hauptsache!

Antwort
von Blvck, 63

http://www.mathe-online.at/materialien/julian.langmann/files/Winkelfunktionen_am...

bei 30° ist die grüne Strecke 0,5 lang,
bei 60° die rote

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 20

Beispiel : Nehmen wir einen Vektor mit den Betrag Z=10 Dies könen 10 m oder sonst eine Einheit sein.

Diesen Vektor kann man in 2 Komponeten zerlegen und zwar in eine x-komponete und eine y-Komponente.

Für die y-Komponente gilt sin(a)=Gk/Hy und für die x-Komponete cos(a)=Ak/Hy

Gk ist die Gegenkathete im rechtwinkligen Dreieck und Hy ist die Hypotenuse (die längste Seite) Das ist hier der Vektor Z=10=Hy

umgestellt Gk=sin(a) * Hy und für die x-Komponente Ak=cos(a) * Hy 

also ist die y-Komponete y=Gk= sin(30°) *10=5 und die x-Komponete                 x=Ak=cos(60°) * 10=5

Für den Tangens gilt tan(a)=Gk/Ak mit Ak=Gk ergibt sich tan(a)=1 ergibt        arc tan(1)=45° Also ist der Betrag von der y-Komponete und x-Komponente bei den Winkel a=45° gleich.Der Winkel a ist der Winkel zwischen den Vektor Z und der positiven x-Achse.

Der Unterschied der Werte von sin(a) und cos(a) ergibt sich ,weil die beiden Kurven um pie/2=90° gegeneinander verschoben sind.

Der Kurvenverlauf ist aber ansonsten der selbe.

Deshalb gilt cos(a)=sin(a + pie/) hier muss man den Rechner auf rad (Radiant) einstellen

Antwort
von fenno, 43

Wenn du in einem Einheitskreis ein Dreieck mit "Höhe" 0,5, Hypothenusenlänge 1 und Winkel 30° im Ursprung zeichnst sieht man deutlich, dass sin(30)=0,5 ist, da sin=Gegenkathete (hier:"Höhe")/Hypothenus("Weg zum Rand").

Jetzt machst du noch ein Dreieck mit 60° im Ursprung (zusammen addiert hast du eine rechten Winkel), dass symmetrisch zum andern ist und du siehst auch hier wieder, dass cos(60)=0,5. Du siehst nun auch ein Rechteck mit Diagonale 1 und eine der Seiten ist 0,5

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community