Frage von EliasM1, 259

Mathematik Rätsel (Wanderwege)?

Hallo alle zusammen, ich bräuchte dringend Hilfe bei diesem Rätsel... :)

In einem Wandergebiet gibt es vier Ausflugsziele A , B , C und D . Zwischen je zweien dieser Ausflugsziele verlaufen einige Wanderwege. Die Wanderwege kreuzen sich nicht. Eine Wanderroute beginnt an einem der Ausflugsziele und verläuft entlang der Wanderwege zu einem der anderen Ausflugsziele, wobei zwischendurch andere Ausfl ugsziele besucht werden können. Kein Ziel wird bei einer Wanderroute mehrfach angesteuert. Es ist bekannt, dass es zwischen A und B genau 3 Wanderwege, zwischen B und C genau 2 Wanderwege, zwischen A und C genau 4 Wanderwege und zwischen A und D genau 5 Wanderwege gibt. Von B nach D gibt es genau 104 Wanderrouten, von D nach C genau 151 Wanderrouten. Wie viele Wanderrouten gibt es von A nach C ?

Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Viele Grüße, Elias

Antwort
von kreisfoermig, 164

Lösung 193 Routen. Unten steht eine Ableitung dieser Lösung.

WANDERWEGE

  | A B C D
===========
A | — 3 4 5
B | 3 — 2 x
C | 4 2 – y
D | 5 x y —

Bezeichne mit AB die Anzahl der Wege zw. A & B, usw. Es gilt AB=BA, AC=CA, usw. Beachte, dass nach unserem Kenntnisstand bisher unbekannt ist, wie viele Wege es zwischen B & D bzw. C & D gibt. Deshalb werden diese mit Unbekannten x bzw. y markiert.

WANDERROUTEN

104 = BDᴿ
= BD + BA·AD + BA·AC·CD
+ BC·CD + BC·CA·AD
= x + 3·5 + 3·4·y + 2·y + 2·4·5
= 55 + x + 14y
151 = DCᴿ
= DC + DA·AC + DA·AB·BC
+ DB·BC + DB·BA·AC
= y + 5·4 + 5·3·2 + x·2 + x·3·4
= 50 + 14x + y

Daraus erschließt sich x+14y = 104–55 und 14x+y = 151–50, und somit die eindeutige Lösung der Unbekannten x=7 Wege zw. B & D und y=3 Wege zw. C & D. Anhand dieser Kenntnisse erhält man:

ACᴿ = AC + AB·BC + AB·BD·DC
+ AD·DC + AD·DB·DC
= 4 + 3·2 + 3·x·y + 5·y + 5·x·y
= 10 + 5y + 8xy
= 10 + 5·3 + 8·7·3
= 193 Routen zw. A & C. ⊣
Antwort
von Gerste94, 157

Was ist denn dein Ansatz, wie weit bist du denn schon gekommen?

Hast du schonmal versucht aufzuzeichnen, wie das "Gelände" aussieht, in der Skizze hineingeschrieben wieviele Wege zwischen welchen Orten sind und welche Anzahl an Wegen zwischen welchen Orten du nicht kennst?

Und dann kannst du Gleichungen aufstellen, mit denen du berechnest, wieviele Routen es zwischen B und D gibt, das gleiche für D und C.

Dann hast du ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten, dieses kannst du dann gut auflösen und kennst alle Anzahlen von Wegen und kannst dann auch die Anzahl an Routen zwischen A und C berechnen.

Wenn es irgendwo hackt, melde dich gerne nochmal!

Kommentar von EliasM1 ,

Ich habe mir das ganze bereits aufgezeichnet, doch ich verzweifle leider daran die Zahlen der Wanderrouten von D nach C und A nach C mit in die Rechnung für die Aufgabe rein zubringen. :/

Kommentar von Gerste94 ,

wieso denn?! Wenn du jetzt die Routen von B nach D betrachtest, musst du zum Beispiel die anzahl an Wanderwegen von B direkt nach D addieren zu den anderen Routen

und wenn du von B über C willst ist die Anzahl der Routen dafür 2 * CD (mit CD mein ich die Anzahl der direkten Wege von C nach D)

Kommentar von Gerste94 ,

kommst du mit der Hilfe weiter oder verstehst du immer noch nur Bahnhof?!

Kommentar von EliasM1 ,

Ich verstehe leider immernoch nur Bahnhof. :(

Kommentar von rumar ,

Bezeichne die Anzahl der (direkten) Wege von C nach D mit x und die Anzahl derjenigen von B nach D mit y.

Von B nach D kommt man dann entweder über einen der y direkten Wege oder aber entlang einer Route B-A-D , B-C-D , B-A-C-D oder B-C-A-D.

Für die Route B-A-D  muss man einen der 3 Wege B-A sowie einen der 5 Wege A-D  wählen. Insgesamt ergeben sich daraus also 3*5 = 15 mögliche Routen  B-A-D .

So, und nun nur alles komplett ergänzen und damit ein Gleichungssystem aufstellen ...

Viel Erfolg !

Antwort
von Gerste94, 144

Um ein Bild einzubinden braucht es wohl eine neue Antwort.

Hier mein Lösungsweg, versuch ihn mal nachzuvollziehen, einige Zwischenrechnungen und so fehlen aber noch, die musst du dann sowieso noch dir selber erarbeiten

Kommentar von rumar ,

Offensichtlich hast du die Bezeichnungen x und y gegenüber meinem Ansatz gerade ausgetauscht. Das macht aber garnix - ich bin jedenfalls auf das gleiche Schlussergebnis gekommen.

Kommentar von Gerste94 ,

dann werde ich wohl auch richtig gerechnet haben ;)

Antwort
von rumar, 99

Mir ist die Aufgabenstellung nicht ganz klar.

Über die Anzahlen direkter "Wanderwege" zwischen C und D oder zwischen B und D  werden in der Aufgabe keine Angaben gemacht. Sollen wohl diese Anzahlen als Unbekannte betrachtet werden ?

 

Kommentar von EliasM1 ,

Ja, denke ich. Diesen müssen wohl mit Hilfe der Anzahl der Wanderrouten erschlossen werden.

Kommentar von Gerste94 ,

Ja, so habe ich zumindest die Aufgabe gelöst bekommen

Kommentar von rumar ,

Meine Idee scheint richtig zu sein. Jedenfalls komme ich mit dem Ansatz auf "schöne" , d.h. ganzzahlige Lösungen eines im übrigen recht einfachen linearen Gleichungssystems.

Kommentar von Gerste94 ,

Eine nicht ganzzahlige Anzahl von Wegen kann ich mir auch schwer vorstellen :'D

Kommentar von rumar ,

Naja, beim Wandern nach einer Wanderkarte kann man es durchaus mal erleben, dass ein angeblicher Weg sich auf halbem Weg plötzlich "in Nichts auflöst", etwa mitten im Wald, auf einer steinigen Hochebene oder in einer steilen Schlucht ...

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