Frage von hannah5548, 39

mathematik quadratische geichung hilfe?

hallo ich habe eine anleitung in mathematik ansich her verstehe ich es ja aber ich muss es auf einem zahlenstrahl dann angeben und dann iwie mit einem ersten und zweiten fall rausbekommen und ich weiß überhaupt nicht wie das geht kann mir das jemand erklären angebe; Für welche k element aus den reelen Zahlen hat die folgende Gleichung keine reelle Lösung, genau eine Lösung bzw zwei Lösungen? 4x²+4(k+1)x+k²=0 und jetzt muss ich das mit dem ersten und zweiten fall angeben und dann auf dem zahlenstrahl und ich weiß überhaupt nicht wie das geht kanns mir jemand erklären lg danke

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Volens, Community-Experte für Gleichungen, Mathematik, Schule, 9

Da geht es mal wieder um die Diskriminante. Das ist bei der p,q-Formel der Radikand unter der Wurzel. Die Menge der Lösungen ist davon abhängig.
Steht eine positive Zahl unter der Wurzel, gibt es 2 reelle Lösungen,
kommt 0 heraus, gibt es keine Lösung,
und ist das Ergebnis negativ, gibt es gar keine Lösung.

Hier geht es jetzt um unendlich viele Gleichungen. Und da versuchen wir erst einmal, die Diskrimante D herzustellen.

D = (p/2)² - q                Kennst du sicher.

4x²+4(k+1)x+k²     = 0   | /4        erst muss ich normieren
  x² + (k+1) + k²/4  = 0               p = k + 1           q = k²/4

Daher D = ((k + 1)/2)² - k²/4 
           D =  ((k² + 2k + 1) - k²) / 4
           D =  (2k + 1) / 4

Fallunterscheidung:

1. Fall:    (2k + 1) / 4  >  0  | *4 
                  2k + 1      >  0  | -1
                       2k       > -1  |  /2
                         k       > -1/2 

Also immer wenn   k > -1/2   ist, haben wir 2 Lösungen.

2. Fall:   (2k + 1) / 4 = 0    |  so rechnen wie oben 
                         k     = -1/2

Immer wenn   k = -1/2   ist, haben wir 1 Lösung.  

3. Fall:     (2k + 1) / 4 = 0    |  so rechnen wie oben 
                         k     < -1/2

Immer wenn   k < -1/2   ist, haben wir keine Lösung.

Das sind doch schon mal wichtige Aussage für unendlich viele Gleichungen, die man noch nie gesehen hat.

Nehmen wir k = 1, dann müsste diese 2 Lösungen haben.
Oben einsetzen:

f(x) = 4x² + 8x + 1     Man kann mit a,b,c- oder p,q-Formel leicht ausrechnen,
                                 dass es tatsächlich 2 Lösungen gibt.

Auf dem Zahlenstrahl markierst du  -0,5.
Links davon gibt es keine Lösungen, bei 0,5 genau eine und rechts von 0,5 gibt es 2.

 

Antwort
von Geograph, 8

4x²+4(k+1)x+k²=0 | /4

x² + (k+1)x + 0,25k² = 0

mit der pq-Formel

x = - (k+1)/2 ± √((k+1)²/ 4 – 0,25k²)

 Ausrechnen des Termes unter der Wurzel:

((k+1)²/ 4 – 0,25k²) = 0,25k²
+ k/2  + 1 – 0,25k² = k/2 +1 = (k + 2)/2

Lösung:

x = - (k+1)/2 ± √((k + 2)/2)

Fallunterscheidung:

für k > - 2 hat die Wurzel und damit auch x zwei Lösungen

für k = - 2 ist die Wurzel Null und x hat nur eine Lösung (x = -(k+1)/2)

für k < - 2 hat die Wurzel keine und damit auch x keine reelle Lösung

Beispiele:

k = 0 >> x = -0,5 ± 1 >> x1 = 0,5 und x2 = -1,5

k = -2 >> x = 0,5  

k = -4 >> x = 1,5 ± √(-1) >> x1 = 1,5 + i und x2 = 1,5 – i, das sind komplexe Zahlen

Auf dem Zahlenstrahl markierst Du den Punkt k = -2 , hier hat x nur eine Lösung

für alle k-Werte links von diesem Punkt existiert für x keine reelle Lösung

für alle k-Werte rechts von diesem Punkt existiert gibt es für x zwei Lösungen




Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community