Frage von VayneMechanics, 55

Mathematik n über k Binomialkoeffizient?

Hallo ich brauche ganz ganz dringend hilfeeeeeeee Aufgabe: n über 2=45 Wie komm ich auf das Ergebnis bitte helfen

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von FelixFoxx, 36

n über k=n!/(k!(n-k)!)

k=2, n ist gesucht

n!/(2!(n-2)!)=45

n(n-1)/2=45

n²-n=90

n=10

Kommentar von VayneMechanics ,

kannst du mir nur ganz kurz erklären was du in jedem schrit machst. ich denke ich habs kapiert aber sicher isz sicher

Kommentar von GustavAT ,

n! beduetet ja n * (n-1) * (n-2) * (n-3) .. * 2 * 1. (also n * (n-1) * (n-2)!)
(n-2)! Fakultät kann somit gekürzt werden und es bleibt n * (n-1) / 2 übrig
und 2! = 2 weil 2 * 1 = 2

Kommentar von FelixFoxx ,

Danke für den Stern.

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik & Schule, 17

Hallo,

der Binomialkoeffizient (n über k) ist eine Kurzform für den Bruch
n!/[k!*(n-k)!]

k soll 2 sein:

n!/[2!*(n-2)!]=45

Das Ausrufungszeichen bedeutet Fakultät. n!=1*2*3*...(n-1)*n

2!=1*2=2

Wenn Du beide Seiten der Gleichung mit 2 multiplizierst, steht da:

n!/(n-2)!=90

Wenn Du n! durch (n-2)! teilst, bleiben nur die beiden letzten Glieder dieser Produktreihe stehen, nämlich (n-1)*n, der Rest kürzt sich weg.

So bleibt: n(n-1)=90

Nun kannst Du entweder überlegen, welche beiden aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen 90 ergeben, wenn man sie miteinander multipliziert (natürlich 9 und 10) oder Du löst die Gleichung auf konventionelle Weise:

n*(n-1)=90

n²-n=90

n²-n-90=0

pq-Formel:

n1=0,5+Wurzel aus [(0,5)²+90]=0,5+9,5=10

n2=0,5-9,5=-9 (scheidet aus, da -9 keine natürliche Zahl ist).

Herzliche Grüße,

Willy

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathematik & Schule, 13

An einfache Aufgaben dieser Art geht man auch "einfach" heran.

Das erste, was man von diesen "Über"zahlen lernt, ist, dass man einen Bruch daraus machen kann. Im Nenner steht die Fakultät der unteren Zahl,
bei dir 2! = 1 * 2
Die 1 schreibt man mit, denn dann sieht man genau, wieviel Faktoren im Zähler zu stehen haben: genauso viele, also 2, aber abwärts gezählt.

Das ergibt den Bruchterm:     n * (n - 1) / (1 * 2)  =  45

Oder auch:                             (n² - n) / 2              =  45        | *2
                                                n² - n                    =  90        | -90
                                                n² - n  - 90            =  0

Das ist etwas für die p,q-Fomel.
Den negativen Wert brauchen wir nicht.

Rechne mal bitte selbst, bevor du vergleichst.

Spoiler    

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n = 10              

Kommentar von Volens ,

Dass es auch kompliziertere Darstellungen des Binomialkoeffizienten gibt, bleibt unbenommen. Für eine schnelle Rechnung sucht man sich die heraus, die am besten passt, und das ist hier die simple Definition von
/ n \
\ 2 /

Besser geht es hier nicht, im Taschenrechner (der es überhaupt kann):
ncr(n,2) = 45

Wolfram kann's.

Antwort
von Zwieferl, 6

Alternative zu den sehr guten anleitungen von Willy1729 und Volens: du erstellst dir das Pascal’sche Dreieck und suchst dir jene Zeile, wo die dritte Zahl 45 ist.

Allerdings ist das zwar rechnerisch sehr einfach, aber doch aufwendiger, da du (in diesem Fall) mindesten elf Zeilen brauchst. Außerdem ist es nicht "mathematisch"😉

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