Frage von wolfgirl718, 46

Mathematik Limes Bsp?

Hallo!
Stelle eine Formel für den Differentialquotienten f'(x) an und berechne f'(1) und f'(3). Für die Funktion f(x)=2x
ich hab das so gemacht

2z-2t/z-t
Nur mein Problem: am Ende kommt nur 2 raus, aber das ist ja falsch weil ich so die funktionswerte von 1 und 3 nicht berechnen kann. Wo ist mein fehler?

Expertenantwort
von Hamburger02, Community-Experte für Physik, 10

f(x) = 2x ist eine Gerade mit der Steigung 2. Bei Geraden ist die Steigung überall gleich, deshalb ist auch f'(x) = 2 von x unabhängig.

Nun müsste man wissen, was ihr schon hattet und womit du rechnen kannst. Kann daher nur verschiedene Ansätze darstellen.

Zuerst musst du den Differenzquotienten für die Steigung m aufstellen

m = (y1 -y0) / (x1 - x0) = (f(x0) - f(x1) ) / (x0 - x1)

Jetzt musst du zum Differentialqotienten übergehen:

m = lim(x1->x0) ( f(x0) - f(x1) ) / (x0 - x1)
m = lim(∆x->0) ∆y/∆x

oder:

f'(x) = lim(h->0) ( f(x+h) - f(x) ) / h
f'(1) = lim(h->0) (2(x+h) - 2x ) / h
= lim(h->0) (2 * 1 + 2h - 2 * 1 ) / h
= lim(h->0) 2h / h
= lim(h->0) 2 = 2


Antwort
von poseidon42, 14

Sei nun f(x) = 2x , es handelt sich bei f also um ein Polynom ersten Grades, damit ist f schonmal stetig. Wir setzen nun den Differenzenquotienten an:

(f(x+h) - f(x))/h = [2*(x+h) - 2x ]/h = 2

damit folgt für den Grenzwert für h -> 0 :

f´(x) = lim(h->0){ (f(x+h) - f(x))/h } = lim(h->0){ 2 } = 2

Damit folgt also nach Definition:

f´(x) = 2  ; Ein Polynom nullten Grades und damit stetig auf ganz IR.

[Alternative Schreibweise: f´(x) = 2*x^0  , wobei x^0 = 1 für alle x aus IR ]


Einsetzen der Argumente für x liefert:

f´(1) = 2*(1)^0 = 2

f´(3) = 2*(3)^0 = 2

Kommentar von poseidon42 ,

Man kann an dieser Stelle übrigens noch anmerken, dass man die Ableitung einer linearen Funktion direkt an der Gleichung ablesen kann, denn es gilt:

Sei g(x) = m*x + n  ; mit Steigung m , die zu betrachtene lineare Funktion (stetig auf ganz IR, da Polynom ersten Grades).

Es folgt mit dem Differenzenquotienten:

g´(x) = lim(h->0){ (g(x+h) - g(x))/h }

= lim(h->0){ (m*(x+h) + n - (m*x + n))/h }

= lim(h->0){ m*h/h } = lim(h->0){ m } = m

Damit folgt also für eine lineare Funktion, wie es g ist, die Ableitung zu:

g´(x) = m = const.  (Polynom nullten Grades, stetig auf ganz IR)

Somit kannst du die Ableitung einer linearen Funktion direkt an ihrer Steigung ablesen.

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 5

f(x)= 2 *x abgeleitet f´(x)= 2 siehe Mathe-Formelbuch "Differentationsregeln"

hier "Potenzregel" und "Konstantenregel" anwenden

wegen f´(x)=2 = konstant gibt es nur einen Wert für die Steigung,ist also überall gleich.

(de) griechischer Buchstabe "Delta" ,kann ich hier nicht darstellen.

Die Steigung m= y2-y1)/(x2-x1) = f(x2) - f(x1)/(x2-x1)

mit (de)x=(x2-x1) sprich "Delta x"

"Differentialqotient" dy/dx=f´(x)= (f(x+(de)x) - f(x) )/ (de)x 

f(x)= 2 *x eingesetzt

f´(x)= 2*(x+(de)x) - 2*x) /(de)x=2*x + 2*(de)x - 2 * x)/ (de)x

f´(x)= 2 * x /(de)x) + 2 * (de)x/(de)x - 2 * x/(de)x

f´(x)= 2 * ( x/(de)x + 1 - x/(de)x= 2 * 1= 2

also f´(x)= 2

Antwort
von Schilduin, 22

Wenn f'(x)=2 ist, bedeutet das nichts anderes, als dass der Funktionswert für jeden x-Wert 2 ist. Du hast also nichts falsch gemacht.

Kommentar von wolfgirl718 ,

Aber bei f(x)=2x kommt für f(3)=6 raus also kann es gar nicht 2 sein?

Kommentar von Schilduin ,

Die Funktion f' beschreibt die Steigung der Funktion f. Wenn du den Graphen von f betrachtest, siehst du, dass der Funktionswert zwar steigt, die Steigung aber konstant bleibt.

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community

Weitere Fragen mit Antworten