Frage von BWorld50, 71

Mathematik Komplexe Zahlen Kartesische Form Eulerische Form etc?

Guten Tag,

ich habe zurzeit in Mathematik das Thema Komplexer Zahlen. Da begegne ich oft Wörter wie "Kartesische Form, eulerische Form, Polarform, Normalform" . Jetzt weiß ich nicht warum genau Komplexe Zahlen in unterschiedlicher Weise bzw in unterschiedlichen Formen dargestellt werden. Welchen Zweck hat das? Ich hab mal gehört, dass man in einer bestimmten Form zum Beispiel besser potenzieren kann. Kann mir bitte einer die Formen erklären bzw den Zweck der unterschiedlichen Formen?

LG

Antwort
von FataMorgana2010, 42

Es gibt prinzipiell zwei Arten, komplexe Zahlen darzustellen - das eine ist die cartesische 

a + bi 

bestehend aus dem realen Anteil a und dem imaginären Anteil b. Das kann man sich als x und y-Komponente der komplexen Zahl auf der Zahlenebene vorstellen. Solche Zahlen kann man sehr einfach addieren

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i. 

Multipliziert man aber, dann hat man viele Klammern und viel Gerechne. 

Die zweite Möglichkeit sind die Polarkoordinaten, geschrieben als

 r * e^(i phi)

Dabei stellt man sich wieder einen Punkt in der Ebene vor - und dabei ist r die Länge der Verbindung zwischen dem Punkt und dem Nullpunkt und phi ist der Winkel, den diese Verbindung mit der x-Achse hat. 

Diese Zahlen lassen sich gut multiplzieren - 

r * e^(i phi) * s * e^(i phi') = (r * s) * e^(i (phi + phi'))

Addieren dagegen macht gar keinen Spaß :-). 

Kommentar von BWorld50 ,

Super DANKE!

Antwort
von Maschinenbau100, 35

Der Sinn und Zweck ist tatsächlich eine bessere Anwendung und Lesbarkeit für den aktuellen Zusammenhang durch verschiedene Schreibweisen.

So kann bei komplexe Zahlen in Eulerscher Form der Winkel phi zwischen der Reellen Zahlenachse und der komplexen Zahl bzw. dessen Zeiger abgelesen werden sowie der Betrag r bei z = r*e^i*phi. Vor allem in der Elektrotechnik für die Phasenverschiebung von Strom und Spannung häufig eingesetzt.

Die kartesische Form wird gerne bei Rechnungen benutzt in welcher die komplex konjugierte Zahl benutzt wird, so wird aus z = a + ib die Zahl z Quer = a - ib.

Die Polarform ist im Grunde genauso handgehabt wie die Eulersche Form, nur dass man besser Realteil und Imaginärteil ablesen kann und die e-Funktion einem erspart bleibt (dafür mehr Schreibarbeit).

In der Mathematik werden einem alle 3 Formen oft begegnen, es hängt auch von den jeweiligen Rechenschritten ab, welche zu nehmen ist bzw. ob evtl. umgerechnet werden muss damit z.B. Formeln wie die Formel von Moivre angewendet werden kann.

Antwort
von Monsieurdekay, 40

in der eulerschen Form kann man besser potenzieren, da einfach nur Potenzgesetze angewendet werden müssen...

die eulersche Form hat auch eine ganz praktische technische Anwendung, da man an ihr z.B. sofort die Phasenverschiebung/Phasenwinkel von Bauteilen ablesen kann

Antwort
von Physikus137, 34

Schau mal hier:

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahlen#Komplexe_Zahlenebene

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community