Frage von simsilol, 60

mathematik hilfe zahlenbereiche?

hallo ich übe gerade mathematik und da ist ein beispiel angabe: 3x(3x-2)-87=8x(x-2)+(x+1)²
und dann steht einmal ausrechnen mit 1) G=N (natürliche Zahlen) 2) G= Q(Rationale Zahlen) und gib die lösungsmenge an kann mir jemand erklären wie man das machen muss ich kenne mich nicht aus ihr müsst nicht ausrechnen usw nur erklären den rechenschritt bzw was muss man machen zuerst und wie muss man das ausrechnen lg danke

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathematik, 22

Ich würde erst einmal alle reellen Lösungen bestimmen.

(Es gibt zwar Verfahren, hier gleich mit ganzen bzw. rationalen Zahlen zu rechnen, das nennt sich dann Diophantische Gleichungen, aber das dürfte in der Schule kaum drankommen.)

Schau dir die reellen Lösungen an (x ∈ ℝ) und finde für jede dieser Lösungen heraus, ob sie ganzzahlig (x ∈ ℤ) bzw. wenigstens rational (x ∈ ℚ) ist.

Kommentar von simsilol ,

ich hab jetzt ganz normal die gleichung ausgerechnet und mir kommt x= 11 raus und wie müsste ich jetzt weiter müsste ich jetzt die lösungsmenge so angeben L=N

und wie beim zweiten angeben ?

bzw hab ch es so richtig gemacht wie ich jetzt gesagt hab?

danke

Kommentar von PWolff ,

Du hast richtig gerechnet - 11 ist die einzige Lösung.

Damit ist die Lösungsmenge L = {11} (L ⊆ ℝ).

L = ℕ würde bedeuten, dass jede natürliche Zahl Lösung der Gleichung ist, d. h. du müsstest für x auch 1, 2, 3, 4, ... einsetzen können, was hier aber nicht geht.

Wegen 11 ∈ ℕ ist allerdings L ⊆ ℕ.

Wegen ℕ ⊆ ℚ ist auch L ⊆ ℚ.

Damit ändert sich die Lösungsmenge L nicht, wenn man den Grundbereich G auf die Menge der natürlichen Zahlen ℕ bzw. auf die Menge der rationalen Zahlen ℚ einschränkt.

Damit ist

1) L₁ = {11} ⊆ ℕ

2) L₂ = {11} ⊆ ℚ

-----

Wenn L = {11,5} herauskäme, wäre

1) L₁ = {} ⊆ ℕ (leere Menge)

2) L₂ = {11,5} ⊆ ℚ

Und wenn L = {11 - 1/2 √2, 11 + 1/2 √2} wäre, wäre

1) L₁ = {} ⊆ ℕ (leere Menge)

2) L₂ = {} ⊆ ℚ (leere Menge)

Kommentar von simsilol ,

oh gott vieelen vielen dank das hat mir sooo geholfen jetzt verstehe ich es auch allgemein vielen vielen dank dankeschön 

Antwort
von Anonymusq, 45

Es gibt eine app fürs smartphonee, die rechnet die aufgabe und zeigt dir den rechenweg und erklärt diesen auch: Photomath
Hoffe ich konnte helfn.

Kommentar von simsilol ,

ja die app hat mir das gezeigt nur ich versteh nicht wie ich das mit G=N usw machen soll 

Antwort
von funtom, 38

So wie ich das verstehe machst du die Aufgabe einmal mit allen natürlichen Zahlen: N={0,1,2,3,4,5,6,...} - Die Menge der natürlichen Zahlen sind alle positiven, ganzzahligen Zahlen.

und einmal mit den rationalen Zahlen: Die Menge der rationalen Zahlen ist die Menge aller positiven und negativen ganzer Zahlen und Zahlen, die als Brüche dargestellt werden können.

Dafür gibts mathematische Definitionen (such mal bei mathe-lexikon.at)

Weiter weiß ich aber gerade auch nicht :D

Kommentar von simsilol ,

ja genau so nur ich kenne mich gar nicht aus wie 

Kommentar von funtom ,

vielleicht hilft das hier noch weiter, um die Lösungsmenge zu bestimmen: https://www.youtube.com/watch?v=k8ktq9Xdvec

Antwort
von gilgamesch4711, 8

  Weißt du, was eine ganze Zahl ist? Weißt du, was eine rationale Zahl ist? Solltest du aber; wenn du es wirklich nicht raffst, schreib mir ruhig nochmal.

   Hattet ihr schon Mengenlehre? Jede Gleichung hat eine Lösungs-ode Erfüllungsmenge. Also du hast eine ===> lineare Gleichung in x ; ist jetzt vielleicht bissele schwer zu verstehen. Der Haupttrick beim Lösen besteht doch immer in der Division ( durch den Koeffizienten von x ) D.h. eine ( eindeutige ) rationale Lösung wäre an sich garantiert.

   Aber du hast mehr. Deine Lösung x = 11 € |N , ist gleichzeitig auch noch ganzzahlig. So Gleichungen wie deine sind über |N NICHT selbstverständlich lösbar; was du immer voraus setzt, ist nämlich immer die UNBESCHRÄNKTE  AUSFÜHRBARKEIT der Division.

Kommentar von simsilol ,

also ich hab jetzt z.b.

x=11 

und dann steht da 

G=N und G=Q und ich muss jetzt mit x=11 zwei lösungsmengen bilden kannst du mir erklären wie ich  die lösungsmenge bilde wenn G=N ist und wie ich die lösungsmenge bilde wenn G=Q ist danke lg

Antwort
von gilgamesch4711, 9

  Die Gleichung musst du schon knacken.

3 x ( 3 x - 2 ) - 87 = 8 x ( x - 2 ) + ( x + 1 ) ²     ( 1 )

   Klammern auflösen; aber dieses Quadrat lässt du stehen.

  9 x ² - 6 x - 87 = 8 x ² - 16 x + ( x + 1 ) ²  | - 9 x ²   ( 2 )

  WIE wird sortiert? Verfahren Gilgamesch spezial. Alle Quadräter nach Rechts, den Rest nach Links.

   ( x + 1 ) ² - x ² = 10 x - 87   ( 3 )

   Faktorisieren ist besser wie Klammern Auflösen; die x ² - Terme kürzen sich raus. Wenn ich setze

    a  :=  x  +  1     (  4  )

   Dann steht doch in ( 3 ) links die 3. binomische ( a ² - x ² )

  [ ( x + 1 ) + x ] [ ( x + 1 ) - x ] = 10 x - 87    ( 5 )

    2 x + 1 = 10 x - 87    ( 5a )

    sortieren

     8  x  =  88  ===>  x  =  11    (  5b  )

      Vielleicht so: Zunächst sah es ja aus wie eine quadratische Gleichung; und wenn du Pech hast, hat die nur ===> komplexe Lösungen.

   Von Daher ist mein Umformungstrick ( 4;5 ) Mega geil. Denn so bald du weißt, dass die Gleichung linear ist, ist eine Lösung auf |Q garantiert.

   die sind gar nicht so; du kriegst sogar eine ganzzahlige Lösung.

Kommentar von simsilol ,

ja mir ist genau dasselbe also x=11 rausgekommen aber wie soll ich jetzt die zwei lösungsmengen angeben?

Kommentar von sachsii ,

dein 'genialer' trick ist mehr als unnötig.

Antwort
von UlrichNagel, 19

Da du hier keine negativen und Kommazahlen hast, ist die 2. Aufgabe das Gleiche wie die 1., da nur natürliche Zahlen da sind! beachte im letzten Glied die Binomische Formel!


Kommentar von simsilol ,

ich kenn mich nicht aus wie 

Kommentar von UlrichNagel ,

Du sollst einfach Ausmultiplizieren und dann gleichartige Glieder zusammen fassen und nach x umformen, bzw. es kommt die pq-Formel heraus!

Kommentar von simsilol ,

ich hab alles normal gerechnet und da kommt x=11 raus und jetzt versteh ich nicht weiter

Kommentar von UlrichNagel ,

Hab nachgerechnet, ja die x²-Glieder fallen weg und dein Ergebnis wird schon stimmen (hab ich nicht überprüft). Die Lösungsmenge ist also x=11!

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