Frage von kroniger, 7

Mathematik-Grenzwert bei gebrochenrationalen Funktionen?

Hallo, ich muss als Hausaufgabe die beiden asymptoten von f (x)= 2/x-3 berechnen. Ich dachte dass ich aufgrund von Zähler und nennerGrad den limes anwenden muss nur leider verstehe ich nicht mehr so ganz wie das funktioniert.
Wäre für schnelle Hilfe sehr dankbar.

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe, 1

Die Frage ist: Steht -3 auch im Nenner oder hinter dem Bruch 2/x?

Läuft x im Nenner gegen Unendlich, dann läuft der gesamte Bruch gegen Null. (Wird der Nenner immer größer, wird der gesamte Bruch immer kleiner [bei gleichem Zähler]).

Steht nun die -3 auch im Nenner, läuft die gesamte Funktion gegen 0 für x gegen plus-/minus Unendlich. Steht die -3 dahinter, dann läuft die Funktion gegen -3, da Richtung Unendlich nur der Bruch 2/x "verschwindet" (Richtung Null läuft) und -3 übrig bleibt.

Die senkrechte Asymptote ist einfach da, wo die Funktion ihre Definitionslücke hat, also endweder x=0 oder x=3; je nachdem wo die -3 steht...


Für den Grenzwert an der Asymptote mußt Du den Grenzwert für "x Richtung Definitionslücke" ermitteln. Bei f(x)=2/x-3 ist die Lücke bei x=0 und bei f(x)=2/(x-3) ist sie bei x=3, weil bei diesen x-Werten der Nenner Null werden würde.

Hierbei musst Du einmal von links und einmal von rechts Richtung Definitionslücke den Grenzwert bestimmen. Von links Richtung x=0 (bzw. x=3) ist der Nenner negativ und je näher es Richtung Def-Lücke geht, desto kleiner wird der Nenner und umso größer (unendlich) wird der gesamte Bruch. Da der Zähler positiv ist, erhälst Du als Grenzwert Minus-unendlich.

Von rechts kommend ist der Bruch positiv, d. h. der Grenzwert ist entsprechend Plus-unendlich.

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