Frage von Claramaria145, 51

Mathematik Frage - Integralrechnung?

Hallo liebe Community, im Großen und Ganzen verstehe ich die Integralrechnung eigentlich sehr gut. Meine Frage ist aber wenn ich beispielsweise die Geschwindigkeitsfunktion gegeben habe z.B. bei einem Flugzeug. Fragestellung: Nach welcher Zeit erreicht das Flugzeug den höchsten Punkt. Logisch ich muss die Geschwindigkeitsfunktion 0 setzen. Zweite Frage ist wie hoch dieser Punkt über dem Boden liegt. Unsere Lehrerin hat dazu das Flächenintegral der Geschwindikeitsfunktion von 0 bis zum errechneten Punkt ausgerechnet. Wieso rechne ich hier nicht mit der Zeit-Weg Funktion zum Zeitpunkt des errechneten Wertes? Die erste Methode ist doch die Geschwindigkeit? Danke für die Hilfe im Voraus

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von varlog, 21

Du benutzt nicht die Weg-Zeit-Funktion, weil diese (vermutlich) nicht gegeben ist. Ansonsten wäre das ja trivial.

Unabhängig davon ist das Integral deiner Geschwindigkeitsfunktion ja gerade die Weg-Zeit-Funktion (überlege dir welche Funktion du erhalten würdest, wenn du eine Weg-Zeit Funktion ableitest).

Aber anders beschrieben: Ihr hattet ja zu Beginn mit Sicherheit diese Sache mit den Rechtecken, die man unter eine Funktion legen kann, um den Flächeninhalt zu approximieren oder? Der Flächeninhalt eines solchen Rechtecks ist ja: f(t)*dt. D.h. mit Einheiten betrachtet hat du m/s * s, also m.
Ein Rechteck gibt also ungefähr an wie viel Strecke ab Zeitpunkt t bis zum Zeitpunkt t + dt zurückgelegt wurde. Wenn du jetzt die ganzen Rechtecke bis zum gewünschten Zeitpunkt aufaddierst bekommst du also eine Abschätzung des insgesamt zurückgelegten Weges. Wenn du die breite der Rechtecke (dt) jetzt noch gegen 0 gehen lässt, bekommst du genau den zurückgelegten Weg.

Naja, und die Geschichte mit den Rechtecken ist ja gerade das Integral.

Kommentar von Claramaria145 ,

Vielen Dank jetzt hab ichs verstanden :)

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathematik & Schule, 30

Da musst du mal mit dem Hauptsatz spielen. Der besagt ja, dass deine gewöhnliche Originalfunktion f(x) die Ableitung der Funktion ist, die im Integral steht. Wenn du jetzt eine Geschwindigkeitsfunktion hast, ist sie die Ableitung des Weges nach der Zeit.

Wenn du also auf die originale Wegfunktion kommen willst, musst du halt integrieren. Die sonstigen Eigenschaften des Integrals, z.B. Flächenbestimmung, sind dabei nicht relevant.

Kommentar von Claramaria145 ,

Soweit habe ich das ja auch verstanden, ich verstehe nur nicht wieso ich den höchsten Punkt mit der Geschwindigkeitsfunktion und nicht mit der Zeit Weg Funktion ausrechne. Die Geschwindigkeitsfunktion gibt doch nur die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt an?

Kommentar von Volens ,

Der höchste Punkt des Weges muss ja in der Ableitung eine Nullstelle ergeben. Das wollte ich nur mal erwähnen, ohne auf Details der Aufgabe einzugehen.

Bekanntlich haben die Extrema die Steigung Null, also waagrechte Tangenten, die in der Ableitungskurve als Nullstellen auftreten.

Findest du also eine Nullstelle in der Geschwindigkeitsfunktion, ist an dieser Stelle in der Integralfunktion ein Extremwert. Seinen Charakter kannst du dann noch erkennen, wenn du an der Stelle die nächste Ableitung bildest (die 1. Ableitung der Geschwindigkeit = die 2. Ableitung der Integralfunktion (Weggleichung)).

Antwort
von Mikkey, 4

Die Frage ist mit den von Dir gegebenen Informationen nicht zu beantworten.

Der höchste Punkt eines Fluges wird mit dessen höchsten Punkt erreicht. Wann das ist, entscheidet der Pilot oder die Flugsicherung.

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