Frage von HanniBannyBaer, 48

Mathematik, Extremwertaufgaben wie stelle ich Haupt und Nebenbedingung auf?

Wir haben die Aufgabe: Die Summe zweier Zahlen beträgt 64. Das Produkt ihrer Quadrate soll maximal werden. Bestimme die beiden Zahlen. Wie groß wird das Produkt?

So jetzt müsste man ja zunächst Haupt und Nebenbedingung aufstellen um dann die Zahlen zu errechnen mich verwirrt aber total dass da jetzt Produkt und Summe gefragt sind, da ich eh Schwierigkeiten habe die Bedingungen auf zu stellen fällt es mir jetzt noch schwerer wegen diesen beiden verschiedenen.. Es wäre lieb wenn mir das jemand überhaupt allgemein und vorallem zu der Aufgabe erklären könnte 😊🙂

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von MeRoXas, Community-Experte für Mathe, 14

Die Summe zweier Zahlen beträgt 64

Es gilt also die Nebenbedinung:

a+b=64

Das Produkt ihrer Quadrate soll maximal werden.

Es gilt also die Zielfunktion:

f(a;b)=a²*b²

Wir stellen die Nebenbedingung nach einer Variablen um. Ich wähle a.

a+b=64 |-b

a=64-b

Wir setzen das in die Zielfunktion ein.

f(b)=(64-b)²*b²

Wir wenden die zweite binomische Formel an:

f(b)=(4096-128b+b²)*b²

Wir multiplizieren das b² in die Klammer rein.

f(b)=4096b²-128b³+b^4

Wir ordnen nach Potenzen.

f(b)=b^4-128b³+4096b²

Da die Zielfunktion maximiert werden soll, leiten wir sie ab und setzen sie gleich Null (notw. Bed.)

f'(b)=4b³-384b²+8192b

Das können wir nun mit etwas Können so umschreiben, dass die späteren Rechnungen sehr leicht werden.

Zunächst können wir 4b ausklammern.

f'(b)=4b*(4b²-384b+8192)

Zudem lässt sich der Teil in der Klammer in Faktoren zerlegen.

4b²-384b+8192=(b-32)*(b-64)

Daraus folgt:

f'(b)=4b*(b-32)*(b-64)

0=4b*(b-32)*(b-64)

Wir wenden den Satz des Nullprodukts an:

4b=0

oder

b-32=0

oder

b-64=0

Es ergeben sich 3 Werte für b:

b1=0

b2=32

b2=64

Wir bilden die zweite Ableitung der Funktion f(b). Um diese leichter ableiten zu können, nehmen wir wieder 4b³-384b²+8192b als f'(b), damit wir uns die lästige (und vielleicht noch gar nicht gelernte) Produktregel sparen können.

f'(b)=4b³-384b²+8192b

f''(b)=12b²-768b+8192

Für die notwendige Bedingung muss gelten: f''(b) ungleich 0

f''(0)=8192 ----->  8192>0, daher Tiefpunkt bei b=0

f''(32)=-4096 ----->  -4096<0, daher Hochpunkt bei b=32

f''(64)=8192  ----->  8192>0, daher Tiefpunkt bei b=32.

Der Wert für b beträgt also 32.

Um a zu ermitteln, nehmen wir unsere Gleichung von früher her:

a=64-b

und setzen b ein

a=64-32

a=32.

a hat also den selben Wert wie b.

Um das Produkt zu ermitteln, setzen wir 32 in f(b) ein.

f(32)=1048576

Alternativ kannst du auch 32²*32² rechnen.

Antwortsatz:

Die Zahlen a und b haben beide den Wert 32, das Produkt ihrer maximierten Werte beträgt 1048576

Kommentar von HanniBannyBaer ,

Vielen Dank!

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