Mathematik: Erfindung oder Entdeckung?
Mich beschäftigt schon lange: 1) existiert die Mathematik unabhängig von der Menschheit, wurde also entdeckt? 2) Oder ist sie eine Betrachtungsweise unserer Welt, was sich der Mensch zurechtgelegt, ergo erfunden hat?
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Ich finde diese Frage sehr interessant, und einige der Antworten sind das auch. Was ich aber noch viel interessanter finde ist die Tatsache, das diese Frage eigentlich recht wenig mit Mathematik, dafür um so mehr mit Philosophie zu tun hat.
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Die Mathematik basiert vollständig auf Logik und diese ist allgemeingültig, also quasi schon immer da (man kann sich Logik nicht ausdenken).
Wie unsere Mathematik aber genau aussieht basiert auf Axiomen, die festgelegt wurden (weil sie festgelegt werden müssen). Die Regel Punkt-Vor-Strich ist z.B. ein solches Axiom (bzw. folgt daraus). Daraus lassen sich dann weitere Aussagen folgern. Man kommt aber ohne zusätzliche Definitionen nicht weiter. Man muss z.B. definieren was eine Funktion ist und vorher noch, was eine Menge ist usw.. Das sind also Dinge, die man sich sehr wohl ausdenkt (aber natürlich in einem sinnvollen Rahmen, der anderen Definitionen nicht widersprechen darf, d.h. man kann zwar viel definieren wenn der Tag lang ist, aber 1=2 zu definieren wäre z.B. Unfug und im Widerspruch zu den Körperaxiomen). Und doch kann man die Zusammenhänge die man anschließend erarbeitet hat als Entdeckungen bezeichnen. Man entdeckt sozusagen weitere fundamentale Zusammenhänge, die sich aus gegebenen Definitionen ergeben. D.h. man definiert z.B. was ein Polynom ist und entdeckt dann, dass die maximale Anzahl der Nullstellen mit der maximalen auftretenden Potenz übereinstimmt.
Es ist also beides: Erfindung und Entdeckung.
ukulelenwelt am 3. Juli 2009 07:17 Punkt vor Strich ist doch kein Axiom, sondern einfach eine Konvention, um Schreibarbeit zu sparen. Das Fundament unserer Mathematik ist neben der Logik die CF-Mengenlehre, das sind grundlegende Axiome, wie Mengen miteinander umgehen. Was Mengen sind, ist in der Mathematik nicht sauber erklärbar. Leider ist weiter nicht beweisbar, ob die CF-Mengenlehre widerspruchsfrei ist. Wir glauben es aber. Man könnte aber auch auf völlig andere Axiomensysteme aufbauen. Von daher ist es wohl eher eine Weltanschauung.
Complex am 4. Juli 2009 22:38 Naja, Punkt-vor-Strich ist streng mit den Axiomen verstrickt, denn das Distributivgesetz wäre ohne Punkt-vor-Strich Regel falsch. Man könnte aber natürlich ohne Punkt-vor-Strich Regel andere Axiome definieren und darauf eine Mathematik aufbauen. Aber Punkt-vor-Strich macht das Ganze natürlich einfacher.
CF-Mengenlehre sagt mir jetzt ehrlichgesagt überhaupt nichts, lass mal bitte nen Link rüberwachsen.
Dass unsere Mathematk aber eine Weltanschauung wäre, erscheint mir doch sehr abgedreht. Man könnte sich zwar völlig willkürliche Axiome ausdenken, aber man hat sie ja gerade so gewählt, dass es unseren Alltagsvorstellungen entspricht. Also so, dass 1+2 das gleiche ist wie 2+1, etc.
Genau darauf wollte ich hinaus. Den Anteil "Entdeckung" können wir nicht verändern, weil diese bereits vordeterminiert ist. Aber bei der "Erfindung": gibt es vielleicht etwas besseres? Nehmen wir den Π-Wert: 3,1415... eine undendliche Zahl, die den Zusammenhang zwischen Radius & Umfang eines Kreises beschreibt. Wir können aber den Wert nicht mit letzter Exaktheit bestimmen. Aber liegt es an unserem mathematischen System oder ist es eine grundlegende Natur der Dinge?
Complex am 4. Juli 2009 22:46 Es liegt an der zugrundeliegenden Natur der Dinge! Man könnte sich zwar Theoretisch eine Mathematik aufbauen, in der PI einen anderen Wert hat. Aber übertragen auf die Mathematik die wir benutzen, bekämen wir wieder den selben Wert von 3,1415.. (der übrigens beliebig genau bestimmbar ist). Denn beim Kreis ist es ja nicht so, dass der aus irgendwelchen Definitionen folgt, sondern man definiert mit der Mathematik mit der man arbeitet, was ein Kreis ist. Genauso definiert man auch was der Durchmesser und Umfang des Kreises ist. Und weil der Kreis eine bildlich klare Geometrische Figur ist, die man exakt mathematisch definieren kann, ist das Verhältnis von Durchmesser zu Umfang immer Pi. (Es sei dann man Definiert als Umfang z.B. das, was wir Radius nennen würden, aber das wäre natürlich Unfug ^^).
Ich sehe die Mathematik eher als eine Erfindung, eine Konstruktion, die willkürlich zusammengefügt und noch immer im Werden ist. So ist bisher z.B. immer noch nicht die Systematik der Primzahlen gefunden.
Interessanter Aspekt, dazu tendiere ich auch.
AntiUScout am 4. Juli 2009 17:19 Halte ich für ganz falsch. Weder ist die Mathematik in sich willkürlich, (allenfalls die axiomatische Setzung und auch die nur bedingt, z.B wird Widerspruchsfreiheit gefordert)
noch ist ihre Unvollständigkeit Ausdruck einer noch nicht abgeschlossenen Konstruktion. Es ist schlicht trivial, dass die Menschheit zu einem bestimmten Zeitpunkt stets nur über eine endliche Anzahl von Erkenntnissen verfügt. Die Prinzipien der Mathematik werden sich also nicht verändern wenn das Primzahlproblem gelöst sein wird.
A posteriori, durch Erfahrung, demnach eine Gitterebene an der sich die Welt erklärt macht.
gute frage. ich denke in gewisser weise stimmt beides
keine Entdeckung. Es ist wie eine Sprache die bestimmten Gesetzmäßigkeiten folgt
eine Frage der Betrachungsweise, jedoch wird irgendein mathematisches System bei jeden halbwegs intiligenten Leben sein.
die natur gibt ja auch vor, wieviel Kinder man bekommen, wie wurzeln geschlagen werden, kreisbahnen von Planeten laufen etc
es ist sozusagen die AGBs der Universum wie wir es kennen
Erfunden wurde die mathematische Arbeitsweise bzw. die mathematische Denkweise. Alles weitere, das unter Mathematik zusammengefasst wird wurde entdeckt, da die Wahrheit einer Aussage von den Voraussetzungen und der Aussage selbst abhängt und nicht vom Beweis der Aussage. Eine Aussage, die also wahr oder falsch ist, ist es ja auch wahr oder falsch bevor man darüber nachgedacht hat, also unabhängig vom betrachter.
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