Frage von frageblabla12, 79

Mathematik: Kann mir vielleicht jemand bei einer einfachen Extremwertaufgabe weiterhelfen?

Eine Strecke s soll so in 2 Teile geteilt werden, dass das Produkt der Längen möglichst groß wird.

Ich habe bis jetzt die Nebenbedingung: x+y=s und die Hauptbedingung x*y= Max.

Dann habe ich x ausgedrückt (x=s-y) und eingesetzt in die Hauptbedingung: (s-y)*y, dann reinmultipliziert: sy-y^2 und jetzt um herauszufinden, wie die Strecke zu teilen ist. Müsste ich f' bilden, also ableiten, aber jetzt komme ich nicht mehr weiter

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Volens, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 8

Ich stelle mal die Theorie auf, dass der/die FS gar nicht weiß, was eine Ableitung ist. Das braucht man auch nicht für diese Aufgabe, wenn man den höchsten Punkt einer umgedrehten Parabel kennt. Gucken wir mal:

Die Strecke teilt sich in x und s - x (wenn s die ganze Strecke ist).
Das Produkt dieser Längen ist:

f(x) = x (s - x)
f(x) = -x² + sx           Dann mache ich doch mal quadratische Ergänzung:
f(x) = - (x² - sx + (s/2)²) + s²/4       Binom basteln
f(x) = - (x - s/2)² + s²4

Das ist wegen Minus eine nach unten offene Parabel mit dem Scheitelpunkt (Maximum)
S (s/2 | s²/4). Das maximale x ist also s/2.

Daraus weiß ich: s ist in der Mitte zu teilen.
Die maximale Figur ist ein Quadrat. Die Fläche steht als y-Koordinate daneben.

---
Ableiten geht natürlich schneller:

f(x) = -x² + sx
f '(x) = -2x +s

Extremwert: -2x + s = 0
                      -2x    = -s
                         x    = s/2

2. Ableitung ist -2. Es muss ein Maximum sein.

Expertenantwort
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 41

Ich würde y als (s-x) darstellen. Damit hast du eine Variable weniger, nach der du ableiten musst. Statt s = f(x) würde ich s(x) schreiben.

Oder f(x) = x(s-x) ? Dann ist s eine beliebige Konstante.

Damit wird deutlicher, was du überhaupt ableitest.

Mit Differentialgleichungen und dem ganzen Zeugs habt ihr euch bestimmt noch nicht beschäftigt.

Kommentar von Ahzmandius ,

Das ist exakt das gleiche, was er auch stehen hat nur mit y:

...Dann habe ich x ausgedrückt (x=s-y) und eingesetzt in die Hauptbedingung: (s-y)*y, dann reinmultipliziert: sy-y^2...

sy-y^2=y(s-y)

ob man jetzt x(s-x) oder y(s-y) ist irrelevant.

Kommentar von Suboptimierer ,

Gut! Wenn zwei das haben, ist die Wahrscheinlichkeit größer, dass es richtig ist. :)

Die Ableitung wäre dann f'(y) = -2y + s

Antwort
von musicmaker201, 37

Das ist eine ganz normale Funktion:

f(y)= -y² + sy

Dabei musst du das s beim Ableiten nur wie eine Zahl behandeln.

Antwort
von Polynomo, 8

Einfache Aufgabe --> einfache Antwort, lernt man schon im Anfangs-Geometrie-Unterricht :

Bei vorgegebenem Umfang ist das flächenmäßig größte Rechteck ......  das Quadrat !!!

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 8

Hast du richtig gemacht Max=(s-y) * y= s*y - y^2 

abgeleitet Max´=- 2 *y + s nun Null setzen 0=- 2 * y + s

Bedingung für Maximum f´(x)=0 und f´´(x) < 0

Minimum f´(x)=0 und f´´(x) > 0

Max´´=- 2 also liegt ein Maximum vor ,weil f´´(x)<0

HINWEIS : Du musst nur noch die Nullstellen für 0=- 2 * y + s

2 *y=s Nullstelle bei y= s/2

Du hast hier y als die unabhängige Variable gewählt .

Antwort
von Waldemar2, 32

Nach y ableiten und 0 setzen

s-2y=0

=> y = s/2.

Dies ist ein Maximum, weil die 2. Ableitung (nach y) -2, also < 0 ist.

Antwort
von gerolsteiner06, 29

Ja weil Du nie die Funktion wirklich hingeschrieben hast.

Deine Funktion, die Du maximieren sollst ist das Produkt aus x und y.

Dumm nur, daß Du x ersetzt hast und nicht y, dadurch sieht es sehr ungewöhnlich aus, aber für die Mathematik ist es egal wie die Variablen heißen.

Die Funktion heißt f(y) = s*y - y²

Und jetzt leite nach y ab: f´(y) ist dann ....   kannst Du doch oder ?

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