Frage von justtrying, 10

Mathematik: Eigene Funktion mit ausgesuchten Extremwerten herleiten?

Guten Tag,

gewünschte Nullstellen in die Funktion einbringen ist nicht das schwierige. Hierzu multipliziert man einfach die Linearfaktoren aus bis zur Funktion. Jetzt habe ich aber das Interesse Minima und Maxima, sowie Wendepunkt oder Sattelpunkt einbringen zu lassen.

Wie kann man hierbei vorgehen?

Antwort
von QuestLeo, 2

Zunächst wählst du den Grad deiner Funktion (in Abhängigkeit davon, wie viele Informationen du unterbringen möchtest). Sagen wir, die Funktion soll ein lokales Minimum, ein lokales Maximum und einen Wendepunkt haben.

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

Zu den Extremalstellen: (Sagen wir Max bei x = -1 und Min bei x = 1)

f'(x) = 3ax² + 2bx +c
f''(x) = 6ax + 2b
f'(-1) = 3a - 2b + c
f'(1) = 3a + 2b + c
f''(-1) = -6a + 2b
f''(1) = 6a + 2b

Es muss also 3a - 2b +c = 0 und 3a +2b + c = 0 gelten. Zudem auch -6a+2b < 0 und 6a + 2b > 0.

Nun zum Wendepunkt (Sagen wir bei x = 0)

f''(x) = 6ax + 2b
f''(0) = 2b

Damit hätten wir noch 2b = 0.

Nun musst du nur noch a,b,c,d bestimmen, die das erfüllen. Dies liefert eine mögliche (nicht eindeutige) Funktion f(x).

Antwort
von sim46, 4

Dafür brauchst du eine von dir festgelegte allgemein Form einer Funktion. z.B. ganzrational, n-ten Grades etc. Dann nutzt du die ersten beiden Ableitungen davon und stellst gewünschte Bedingungen auf, die du dann nach deinen entsprechenden Konstanten deiner Funktion auflöst. Wie z.B. 1. Ableitung =! 0 für einen Extremwert und ggf. noch 2. Ableitung < 0 für Hochpunkt etc.

Kommentar von justtrying ,

Mich wurmt aber das Gefühl, dass die Vorgehensweise die wir für Funktionen nutzen nicht ausreicht, bzw. ich durch höhere Anforderungen, die ich an die Funktion stelle eine schier unendliche Zahl an n-ten Grades komme, damit meine gewünschen Bedingungen eingehalten werden.

Kommentar von sim46 ,

Du musst auch drauf achten, dass z.B. ganzrational zweiten Grades nur zwei Nullstellen haben kann oder dritten Grades nur einen Wendepunkt.

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community