Frage von lolopa123, 3

Mathematik/ beweisen?

"Einem Kreis mit dem Radius r ist ein gleichseitiges Dreieck ABC eingeschrieben. Begründe: M (Mittelpunkt des Kreises) ist Schnittpunkt der Seitenhalbierenden des Dreiecks."

Hallo liebe Community, ich sitze schon seit einiger Zeit an dieser Aufgabe, kann mir jemand helfen? Danke danke!

Antwort
von Maimaier, 3

Das gilt für alle Dreiecke, nicht nur für gleichseitige. Ich skizziere mal den allgemeinen Beweis.

Die Seitenhalbierende einer Sekante geht auch durch den Kreismittelpunkt. Daraus folgt dann der Satz.

Fehlt nur noch der Beweis, warum eine Seitenhalbierende einer Sekante den Kreismittelpunkt schneidet. Kreismittelpunkte und Endpunkte der Sekante bilden ein gleichschenkliches Dreieck. ...

Kommentar von lolopa123 ,

Danke für deine Antwort! 

Aber wie genau packe ich das jetzt in einen mathematischen Ausdruck? Irgendwie blicke ich echt nicht durch :/

Kommentar von Maimaier ,

Im gleichschenkligen Dreieck ist Höhe = Seitenhalbierende = Winkelhalbierende (bei der 3. Seite, nicht den beiden Seiten die gleich lang sind)

Kommentar von Maimaier ,

Der Umkreismittelpunkt soll der Schnittpunkt aller Seitenhalbierenden sein <=> Der Umkreismittelpunkt liegt auf jeder der drei Seitenhalbierenden

Betrachte das Dreieck aus Umkreismittelpunkt und zwei Punkten des Dreiecks. Hier sind zwei Seiten gleich lang (Radius des Kreises), also ein gleichseitiges Dreieck. Daher ist auf der dritten Seite die Seitenhalbierende = Winkelhalbierende, und geht damit durch den Umkreismittelpunkt.

Kommentar von Maimaier ,

Das stimmt so nicht ganz.

Im allgemeinen Fall wird der Umkreis eines Dreiecks konstruiert, indem der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten gebildet wird (nicht der Seitenhalbierenden, wie ich gesagt habe). Im gleichseitigen Dreieck ist allerdings dasselbe (Seitenhalbierende=Höhe=Winkelhalbierende=Mittelsenkrechte)

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathematik, 2

Betrachte mal jede Seite für sich.

Was ist der "geometrische Ort" der Mittelpunkte derjenigen Kreise, die durch beide Endpunkte der betreffenden Seite gehen?

Antwort
von Typhus, 3

Der Satz von Viviani lautet: Ist P ein beliebiger Punkt
im Inneren des gleichseitigen Dreiecks, so ist die Summe der Abstände
dieses Punktes von den Seiten konstant.

Dieser Satz gilt auch für den Mittelpunkt des Dreiecks,
also für P=M. In diesem Falle sind die Abstände gleich den Radien
r des Inkreises. 

Also heißt der Satz von Viviani in der Formelsprache:
s + t + u = 3r. Es gilt auch 3r = h.

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