Frage von lukaswhlr, 52

Mathematik Aufgabe: Variable x ist auf beiden Seiten als Potenz der Gleichung gesucht. Wie geht das?

Hallo, normalerweise bin ich echt nicht schlecht in Mathe. Schreibe regelmäßig Einsen und und und. Auf jeden Fall habe ich trotzdem ein Problem, was ich einfach nicht auf die Reihe bekomme. Ich habe momentan Sommerferien, bin also nicht in der Lage einen Lehrer zu fragen. Ich habe mir meine letzte Mathearbeit einmal angeschaut. Dabei hatte ich bei 2 Aufgaben große Probleme:

  1. Löse die Exponentialgleichung: 4 * 5^x + 968 = 12 * 5^x - 32 (^x = hoch x)

Ich habe einfach keine Ahnung wie ich bei dieser Aufgabe x auf eine Seite bekommen soll.

2 . Frau Reichlich wiegt 80kg und will wöchentlich 2% abnehmen. Frau Weniger möchte wöchentlich 2% zu ihren aktuell 50kg zunehmen. Sie wollen mit ihren Diäten aufhören, wenn sie beide gleich viel wiegen. Wann tritt dieser Fall ein? Welches Gewicht zeigt dann die Waage an?

Als Formel dafür bekam ich 80 * 0,98^x = 50 * 1,02^x heraus.

Gleiches Problem wie zuvor.

Hauptthema der Arbeit waren Wachstumsprozesse, Exponentialfunktionen und Logarithmen, falls es hilft.

Danke im vorraus

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 7

Für 1)

4 * 5ⁿ + 968 = 12 * 5ⁿ - 32

Zuerst formen wir um, damit wir anschließend ausklammern können:

4 * 5ⁿ + 968 = 12 * 5ⁿ - 32           | -968
4 * 5ⁿ = 12 * 5ⁿ - 1000                 | - 12*5ⁿ
4 * 5ⁿ - 12 * 5ⁿ = -1000
5ⁿ(4 - 12) = -1000
-8 * 5ⁿ = -1000                            | : (-8)
5ⁿ = 125                                      | log₅
n = log₅(125) = 3

Für 2)

80 * 0,98ⁿ = 50 * 1,02ⁿ

Wichtig sind hierbei die folgenden drei Logarithmusgesetze:

logₓ(aⁿ) = n * logₓ(a)

logₓ(ab) = logₓ(a) + logₓ(b)

logₓ(a/b) = logₓ(a) - logₓ(b)

Wir wenden den Logarithmus (Basis beliebig) auf beide Seiten an:

log(80 * 0,98ⁿ) = log(50 * 1,02ⁿ)

log(80) + log(0,98ⁿ) = log(50) + log(1,02ⁿ)

log(80) + n * log(0,98) = log(50) + n * log(1,02)

Ein bisschen umstellen, dann erhalten wir:

n * log(0,98) - n * log(1,02) = log(50) - log(80)

n(log(0,98) - log(1,02)) = log(50) - log(80)

Wenden wir nun das dritte Logarithmusgesetz an:

n * log(0,98/1,02) = log(5/8)

             log(5/8)
n = ——————— ≈ 11,75
        log(0,98/1,02)

Präge dir die Logarithmusgesetze gut ein, dann ist das kein Problem mehr für dich. :)

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

Antwort
von FuHuFu, 7

Aufgabe 1: Substituiere z=5^x

Aufgabe 2:
Gleichung ist richtig
Auf beiden Seiten Logarithmus (egal welcher)

log (80 * 0,98^x) = log (50 *1,02^x)

Dann Formel anwenden log (a*b) = log a + log b

log 80 + log 0,98^x = log 50 + log 1,02^x

Dann Formel anwenden log a^b = b*log a

log 80 + x*log 0,98 = log 50 + x* log 1,02

log 80 - log 50 = (log 1,02 - log 0,98) * x

x = (log 80 - log 50) / (log 1,02 - log 0,98)

Antwort
von precursor, 17

Ja, das geht.

4 * 5 ^ x + 968 = 12 * 5 ^ x - 32 | - 4 * 5 ^ x und + 32

1000 = 8 * 5 ^ x | : 8

5 ^ x = 125

x = ln(125) / ln(5)

x = 3

Antwort
von TheMPP, 28

http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/exponentialgleichungen.html

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