Mathematik : Kann mir jemand eine Erklärung zur quadratischen Ergänzung schickem/abliefern??

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3 Antworten

Hallo,

die quadratische Ergänzung dient dazu, eine quadratische Gleichung teilweise in ein Binom der Form a²+2ab+b² umzuwandeln und so einen Term (a+b)² zu erhalten. So kann man bei einer Parabel dann direkt den Scheitelpunkt ablesen oder Nullstellen bestimmen, weil die quadratische Ergänzung zur pq-Formel führt.

Beispiel:

f(x)=x²+2x-5

Interessant ist hier das mittlere Glied 2x. Wenn Du die 2 halbierst und anschließend quadrierst, kommst Du auf 1, denn 2/2=1 und 1²=1.

Diese 1 ist die quadratische Ergänzung.

x²+2x+1 läßt sich in (x+1)² umwandeln (erste binomische Formel).

Nun ist x²+2x+1 natürlich nicht dasselbe wie x²+2x-5 - das erkennt man auch, wenn man wenig Ahnung von Mathe hat. Hier kann man sich aber leicht helfen.

Du ziehst die 1, die Du addierst hast, direkt wieder ab:

x²+2x+1-1-5.

Da sich 1 und -1 zu Null addieren, hat sich die Gleichung nicht geändert.

Nun kannst Du den ersten Teil in (x+1)² umwandeln und hängst das -1-5 einfach hinten dran:

f(x)=(x+1)²-1-5=(x+1)²-6

So hast Du mit Hilfe der quadratischen Ergänzung die Funktion in eine Form umgewandelt, in der der Scheitelpunkt direkt ablesbar ist, indem Du die Zahl in der Klammer mit umgekehrtem Vorzeichen und die Zahl hinter der Klammer als Koordinaten des Scheitelpunktes nimmst: (-1|-6)

Herzliche Grüße,

Willy

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Also, mal ein bsp:

y=x^2-6x+2

Zuerst schreibst du den Summanden mit nur einem x (beziehungsweise dessen vorfaktor) als Produkt mit 2: 

y=x^2-2×3x+2

Dein Ziel ist die Anwendung einer binomischen Formel, dh dass der Summand ohne x das Quadrat der Hälfte des anderen vorfaktors sein soll. Daher die Halbierung oben. In diesem Fall ist das die 3, die quadriert 9 ergibt:

y=x^2-2×3x+9

Die Formel ist natürlich falsch, da eine 2 nicht einfach zu einer 9 werden kann. Also ziehst du die 9 wieder ab und schreibst die +2 wieder hinten dran:

y=(x^2-2×3x+9)-9+2

Den ersten Teil habe ich mal zur Veranschaulichung in klammern geschrieben, denn der soll mit binomischer Formel umgeformt werden. (Wegen Assoziativgesetz zulässig!)

Es gilt: (a-b)^2=a^2-2ab+b^2

Hier: a=x; b=3, also:

y=(x-3)^2-9+2=(x-3)^2-7

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Schau Doch mal in Google nach :)

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Kommentar von kike3
06.01.2016, 10:44

Wenn ich google kommen nur Erklärungen die kein mensch versteht :(

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