Frage von flaschenposttt, 22

Mathematik faktorisieren?

Was wäre das ergebnis wenn man das
a^4 + 2a^2 b^2 + b^2 faktorisieren müsste?  Und bei dem y^2 - y - 30 ?

Antwort
von eddiefox, 1

Hallo flaschenposttt,

ich schreibe hier nochmal kurz, weil du wahrscheinlich zu meinem letzten Kommentar keine Nachricht bekommen hast. Ich hatte eine Faktorisierung gefunden:

a⁴+2a²b²+b² = (a²+b²-B)(a²+b²+B), mit B = b√(b²-1).

Die Herleitung kannst du in meinem letzten Kommentar nachlesen.

Gruss

Antwort
von eddiefox, 6

Hallo,

y² - y - 30 = (x-6)(x+5)

Bist du sicher, dass der erste Ausdruck richtig geschrieben ist ? Weil

(a² + b²)² = a⁴ + 2a²b² + b⁴ oder

(a² + b)² = a⁴ + 2a²b + b²

naheliegend wäre.

Gruss

Kommentar von flaschenposttt ,

a^4 + 2a^2 b^2 + b^2 kann man das nicht auch so schreiben : a(2ab^2 + a^3) + (b)^2  ? Oder darf beim faktorisieren kein + ausserhalb der klammer sein???

Kommentar von eddiefox ,

Oder darf beim faktorisieren kein + ausserhalb der klammer sein???

Genau, das ist es!
Man hat entweder Klammer mal Klammer oder Zahl mal Klammer, halt immer ein Produkt.

kann man das nicht auch so schreiben : a(2ab^2 + a^3) + (b)^2 

Das kann man so schreiben, aber dann ist es nicht faktorisiert, da dort steht: a(..) + b², also ist es noch eine Summe.

Deswegen hatte ich nachgefragt wegen der Schreibweise, ob da ein Schreibfehler ist bei a^4 + 2a^2 b^2 + b^2.

Der erste Summand ist a⁴, der letzte b². Wenn man das also mithilfe der binomischen Formel faktorisieren wollen würde, dann müsste in der Klammer stehen (a² + b), damit man beim quadrieren auf a⁴ und b² kommt. Dann wäre aber der Summand in der Mitte 2a²b.
Das stimmt mit deinem Ausdruck nicht überein.

Will man haben, dass der mittlere Summand 2a²b² ist und der erste a⁴, dann bräuchte man (a² + b²), aber dann bekäme man, wenn man diese Klammer quadriert, ein b⁴ am Ende, und das stimmt mit dem b² in deinem Term wieder nicht überein.

- - -

Wenn du dir beim Faktorisieren noch nicht sicher bist - ich bin gerade auf eine Seite gestossen, die ich zum Üben ganz gut finde:

http://www.mathe-trainer.de/Klasse8/Termumformungen/Faktorisieren/Block6/Aufgabe...

Dort stehen 12 Faktorisierungsaufgaben, und zwar solche, die gehen. Du kannst sie ja mal versuchen zu lösen. Das Ergebnis kann man unter "Lösung" einsehen.

Wenn du die gemacht hast, dann hast du bestimmt verstanden wie es geht.

Und wenn du noch Fragen hast, kannst du dich hier immer melden.

Gruss

Kommentar von flaschenposttt ,

Okay danke werde auf jedenfall die seite besuchen. Aber so steht es im Buch diese Aufgabe a^4 + 2a^2 b^2 + b^2  ich habe es auch mit der binomischen formeln versucht aber geht leider nicht auf. Gäbe es noch eine andere Lösung?

Kommentar von eddiefox ,

Ok, dann ist die Aufgabe wirklich so.

Ich denke heute Nacht mal drüber nach, habe gerade keine Zeit, das geht sicher, ist aber komplizierter.

Hier ist z.B. ein ähnlicher Term zu faktorisieren:

a⁴+a²+b⁴, da steht also a²b² als mittlerer Term, nicht 2a²b².
Man kann da also auch nicht die binomische Formel anwenden.

Die Faktorisierung ist:

a⁴+a²+b⁴ =  (a² - ab + b²)(a² + ab + b²)

Du siehst, da kommt man nicht so leicht drauf, muss man rumprobieren oder eine "zündende" Idee haben.

Vielleicht fällt dir ja auch noch was ein.

Bis später

Kommentar von eddiefox ,

Hallo,

hier nun eine Faktorisierung von a⁴+2a²b²+b².

Sei b² ≥ 1, d.h. b ∈ ℝ \ ]-1;1[

(Zur Abkürzung) sei B = b√(b²-1).

Dann gilt

(a²+b²-B)(a²+b²+B) =

a⁴ + a²b² - a²B + a²b² + b⁴-b²B + a²B + b²B-B² =

a⁴ + 2a²b² + (a²B-a²B) + (b²B-b²B) + b⁴ - B² =

a⁴ + 2a²b² + b⁴ -b²(b²-1) = a⁴ + 2a²b² + b⁴ -b⁴ + b² =

a⁴+ 2a²b² + b²
- - - - - - - -

Wie findet man das?

Eigentlich einfach:

Setze x=a², c=b², dann gilt:

a⁴+2a²b²+b² = x² +2cx + c.

Dies ist eine quadratische Funktion in x, von der man die Nullstellen (die von b abhängen) berechnen kann (p-q Formel).

Die Einschränkung b² ≥ 1 resultiert daraus, dass man möchte, dass Nullstellen existieren, also dass in der p-q Formel Δ ≥ 0 ist.

Man errechnet die Nullstellen x₁ und x₂ und kann dann die quadratische Funktion x² +2cx + c schreiben als (x-x₁)(x-x₂).

Zurücksubstituieren von x = a² ergibt dann die gesuchte Faktorisierung.

Gruss

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