Frage von BillHatayu, 42

Mathematik - Geraden in Hessescher Normalform - Ursprung in 𝐻−?

Hallo, siehe Bilder: 1. Aufgabenstellung 2. Lösung

Es geht um Aufgabe 4b und 4c.

Was ist mit 𝐻− gemeint? Ich kann mit dieser Schreibweise gar nichts anfangen.

Vielen Dank!

Antwort
von eddiefox,

Hallo,

ich musste mich auch erst wieder schlaumachen.

Also, H- und H+ haben folgende Bedeutung:

Gegeben sei ℝ². Seien n und x Vektoren des ℝ², d eine positive reelle Zahl.

Eine Gerade in der Hesseschen Normalform schreibt sich in der Form

(1)   <n;x> - d = 0.  ( < ; > ist das Skalarprodukt )

Dabei ist n ein zum Richtungsvektor der Geraden senkrecht stehender Vektor der Länge 1, d der Abstand der Geraden vom Koordinatenursprung.

Die Gerade G ist also definiert als die Menge aller Punkte x, die die Gleichung (1) erfüllen.

Nun macht man folgendes: man teilt ℝ² in drei disjunkte Mengen ein:

ℝ² = G ∪ H⁺ ∪ H⁻.

H⁺ = {v∈ℝ² | <n;v> -d > 0} und H⁻ = {v∈ℝ² | <n;v> -d < 0}

Das heisst nichts anderes, als dass die Gerade G die Ebene in zwei Halbebenen unterteilt, und zwar in H+ und H-. Es gibt die Punkte die auf der Geraden G liegen, dann die Punkte aus H- und die Punkte aus H+ (= die Punkte die auf der einen Seite von G und Punkte die auf der anderen Seite von G liegen). 

Alle zusammen sind alle Punkte des ℝ².

H⁻ ist die Halbebene, die den Koordinatenursprung enthält.

Man sieht es, indem man v=0 in die Ungleichung der Definition von H⁻ einsetzt:

<n;0> -d < 0 ist in der Tat wahr, da d > 0.  ( <n;0> = 0 !)

D.h. solange die Gerade nicht durch den Ursprung geht, teilt sie die Ebene ein in eine Halbebene die den Punkt (0;0) enthält, und die andere Halbebene, die den Punkt (0;0) nicht enthält.

Grüsse


Kommentar von ralphdieter ,

Schön ausführlich erklärt. Eins könnte man noch zum Verständnis dazu sagen:

Es gibt immer zwei HNF: eine mit Normalenvektor n, die andere mit -n. Und das ganze Brimborium dient nur dazu, eine davon auszuwählen.

Antwort
von eddiefox,

Anbei noch ein Bild.

Kommentar von ralphdieter ,

Das veranschaulicht diese drei äquivalenten Formulierungen:

  1. Der Ursprung liegt in H⁻
  2. n zeigt zur Geraden hin (nicht davon weg)
  3. d > 0

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