Frage von dome159, 23

Mathemathische Funktion aufstellen?

Nach Newton ist die Abku ̈hlgeschwindigkeit eines Ko ̈rpers der Temperaturdifferenz zur Umgebung proportional. Zum Zeitpunkt t = 0 habe der Ko ̈rper die Temperatur 100 ◦C, die Raumtemperatur hingegen 20◦C. Nach 10 Minuten betra ̈gt die Temperatur des Ko ̈rpers noch 60 ◦C.

Ermitteln Sie aus den vorgegebenen Werten der Aufgabenstellung eine konkrete Darstellung für die Funktion T(t).

Expertenantwort
von KDWalther, Community-Experte für Mathematik, 11

Im ersten Satz ist die sog. Differentialgleichung beschrieben: eine Beziehung zwischen der Geschwindigkeit der Temperaturänderung und der Temperatur selber:
T '(t) = c · (G - T(t))
dabei ist G die Grenz(=Raum)temperatur und
c der Proportionalitätsfaktor, der etwas über die Geschwindigkeit des Abkühlungsprozesses aussagt.

Ich denke mal, du brauchst diese DGL nicht zu lösen, sondern kannst gleich mit der Grundform eines solchen begrenzten Wachstums/Abnahmeprozesses arbeiten: T(t) = G + A·e^(-k·t)

G = 20 darfst Du voraussetzen.

Mit T(0) = 100 kommst Du auf 100 = G + A, also A = 80 (die Anfangsdifferenz).

Mit Hilfe der zweiten Angabe (T(10) = 60) kannst Du nun k berechnen.

Alles klar?

Kommentar von dome159 ,

Ja, jetzt ist alles klar. Danke :)

Kommentar von dome159 ,

Wobei, noch nicht ganz:

1. ist bei dir c=k?

2. müsste es nicht T(t)-G, anstatt G-T(t) sein?

Kommentar von KDWalther ,

zu 1. Deshalb habe ich absichtlich unterschiedliche Buchstaben benutzt :-) Der Proportionalitätsfaktor (also: die Temperatur nimmt pro Stunde um ... % der Differenz.... ab) und die Konstante k sind nicht identisch.

zu 2. Okay: da es ein Abkühlungsprozess ist, ist T(t)-G positiv. Die Frage ist, ob c die Tatsache der Zu- oder Abnahme ausdrücken soll, ob c also entsprechend positiv oder negativ sein soll.
Das scheint mir eine Frage der Vereinbarung zu sein :-)

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