Mathemathik - Landausche Symbole - Wer weiß weiter?

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3 Antworten

Hallo,

die Hospitalregel wird angewendet bei Grenzwertberechnungen differenzierbarer Funktionen, wenn unbestimmte Grenzwerte auftreten, wie     0/0, 0*∞, ∞/∞, ∞⁰. Wenn z.Bsp. f(x) und g(x) gegen 0 streben (für x → ∞ oder x→ a), dann gilt 

lim [f(x)/g(x)] = lim [f'(x)/g'(x)] (für x → ∞ oder x→ a).

Die Laudau-Symbole o(g) und O(g) für Funktionen (und Zahlenfolgen) machen eine Aussage, wie "schnell" eine Funktion (Folge) im Vergleich zu einer anderen wächst, wenn x→ ∞ (oder x→ a ∈ ℝ).

Beispiel für o:

f ∈ o(g) (oder f = o(g) ) bedeutet dass f "langsamer" als g wächst. 

Genauer:  lim |f(x)/g(x)| = 0 für x→ ∞ (wenn g(x) ≠ 0 in der Nähe von ∞)

Formal: ∀ C>0 ∃ x'>0 ∀ x>x' : |f(x)| ≤ C |g(x)| (*)

Dividiert man die Ungleichung (*) durch |g(x)|, dann erhält man wieder

|f(x)/g(x)| ≤ C , und da C beliebig (nahe bei 0), gilt lim |f(x)/g(x)| = 0 für x→ ∞

Beispiel für O:

f ∈ O(g) (oder f = O(g) ) bedeutet dass f "nicht schneller" als g wächst, oder f von g dominiert wird.

Genauer: lim |f(x)/g(x)| < ∞ für x→ ∞ (wenn g(x) ≠ 0 in der Nähe von ∞)

Formell: ∃ C>0 ∃ x'>0 ∀ x>x' : |f(x)| ≤ C |g(x)| (**)

Dividiert man die Ungleichung (**) durch |g(x)|, dann erhält man wieder

|f(x)/g(x)| ≤ C, und da C eine positive Konstante ist, ist der Grenzwert

 lim |f(x)/g(x)| endlich für x→ ∞.

Grüsse

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Kommentar von eddiefox
03.06.2016, 04:18

Man kann dann mit den Landau-Notation ziemlich "knackig" (= kurz und knapp) Aussagen über das Wachstumverhalten von Funktionen machen. Es ist allerdings etwas abstrakt oder verwirrend am Anfang, jedenfalls ging es mir so.

Beispiele:

f = O(1) . Was bedeutet das? Die Funktion f wird von der konstanten Funktion g(x)=1 "dominiert"; d.h. lim |f(x)/1| ist endlich für x→ ∞ (oder x→ a), also f ist in der Umgebung von ∞ (oder a) beschränkt.

f = o(x²) bedeutet dass f(x) langsamer als x² wächst, also dass lim | f(x)/x² | = 0 für x→ ∞. Man sagt auch f ist x² gegenüber vernachlässigbar.

Dann wird die Schreibweise f ~ g eingeführt :

f ~ g ⇔ f - g = o(g) für x→∞ (oder x→a), unter der Vorraussetzung das g in der Umgebung von ∞ (oder von a) nicht Null wird.

Genaues Hinschreiben der Definition oben ergibt:

lim [ |(f(x)-g(x))/g(x)| ] = 0  für x→∞ (oder x→a).

Den Bruch hinter dem limes kann man schreiben als

|f(x)/g(x) - g(x)/g(x)| = |f(x)/g(x) - 1|, und wenn dieser Term gegen Null geht, dann geht |f(x)/g(x)| gegen 1. Das bedeutet dass f und g ein äquivalentes Wachstumverhalten im Unendlichen (oder in einer Umgebung von a) haben.

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Die Regeln von L-Hospital sind ja bereits erklärt worden. Ich möchte nur nochmal darauf hinweisen, dass dir bei deiner Rechnung, die du hochgeladen hast, ein Fehler unterlaufen ist.

Du schreibst am Ende lim log(n) - lim(n) = 0 (n -> unendlich). Du argumentierst damit, dass ja beide Grenzwerte gegen unendlich laufen und deswegen unendlich - unendlich = 0 ergibt. Aber das ist mitnichten so! Unendlich ist lediglich ein Symbol, keine Zahl für die die üblichen Regeln gelten.

Wenn dem so wäre, wäre z.B auch lim 2n - n = 0, da ja lim 2n = unendlich = lim n für n gegen unendlich. Es ist aber lim 2n - n = lim n = unendlich.

Nur so als kleiner Hinweis von mir ;)

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Kommentar von BillHatayu
04.06.2016, 12:59

Stimmt, das sollte ich besser beachten... Danke

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wenn du den Grenzwert von einem Bruch der Form (unendlich/unendlich) oder (0/0) bilden willst, dann kannst du nach der Regel von L´Hospital die Ableitung von Zähler und Nenner separat bilden und von dem resultierenden Bruch den entsprechenden Grenzwert bilden

PS: Funktioniert wirklich nur bei unendlich/unendlich bzw 0/0

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