(Matheklausur) Anzahl von Möglichkeiten eines Fußballspieltages?

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4 Antworten

Es ist wie beim Fahrradschloss. Du hast 9 Spiele und für jedes Spiel 3 Möglichkeiten.
Die Rechnung wäre 3^9 also 19.683.

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Ist gibt drei Möglichkeiten, wie jedes Spiel enden kann. Heimmannschaft gewinnt, unentschieden oder Heimmannschaft verliert. Jetzt weist man diesen Möglichkeiten Zahlen zu: 0 für unentschieden; 1 für Heimmannschaft gewinnt und 2 für Heimmannschaft verliert.

Jetzt hat sich die Fragestellung geändert. Man muß jetzt herausfinden wieviele 9stellige Zahlen gibt es, wenn man nur die Ziffern 0,1 oder 2 zulässt.

Fangen wir mal klein an. Zwei Spiele am 1. Spieltag wird mit dem obigen Verfahren zu eine zweistelligen Zahl. Wieviele zweistellige Zahlen mit den Ziffern 0, 1 oder 2 gibt es?

00 01 10 02 20

11 12 21

22

Insgesamt gibt es 9 mögliche Zahlen.

Wenn man jetzt auf 3 Spiele am 1. Spieltag erweitert. Wieviele Zahlen sind es jetzt?

Wir fügen eine 0 an die zweistelligen Zahl oben hinten an:

000 010 100 020 200

110 120 210

220

Dasgleiche nochmal nur diesmal fügen wir eine 1 hinzu:

001 011 101 021 201

111 121 211

221

Nochmal diesmal mit der 2:

002 012 102 022 202

112 122 212

222

Für eine bessere Übersichtlichkeit sortiere ich jetzt die 27 Zahlen neu:

Drei Nuller: 000

Zwei Nuller: 001 010 100 002 020 200

Ein Nuller: 011 101 110 022 202 220

Alle drei Ziffern: 012 102 120 021 201 210

Drei Einser: 111

Zwei Einser: 112 121 211

Zwei Zweier: 221 212 122

Drei Zweier: 222


Man sieht, daß man mit dieser Methode sehr schnell an die Grenzen des Machbaren kommt. Aber anhand dieser zwei Schritte kann man eine Formel aufstellen mit der man die Anzahl an Möglichkeiten für höherstellige Zahlen berechnen kann.

Zweistellige Zahl mit 3 unterschiedlichen Ziffern: 9 = 3^2 Möglichkeiten


Dreistellige Zahl mit 3 unterschiedlichen Ziffern: 27 = 3^3 Möglichkeiten


k-stellige Zahl mit 3 unterschiedlichen Ziffern: 3^k Möglichkeiten



k-stellige Zahl mit n unterschiedlichen Ziffern: n^k Möglichkeiten

9stellige Zahl mit 3 unterschiedlichen Zifferen: 3^9 = 19683



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Hier muss ein "Kombinatorisches Abzählverfahren" angewendet werden.

Hier die "Produktregel" n1*n2*n3 ...nk = Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse.

n1, n2 n3 mögliche Ereignisse in jeder Stufe hier n=3=Konstant

k=9 Anzahl der Stufen (Versuche) 

also Gesamte Möglichkeiten = 3 *3 *3 *3....= 3^9=19683 Möglichkeiten.

MERKE : Wird ein Zufallsversuch in K Stufen durchgeführt.Die Anzahl der in einer beliebigen Stufe möglichen Ereignisse sei unabhängig von den Ereignissen der vorhergehenden Stufen.

Dann gilt n1 *n2 * n3 * n4...nk= Gesamtzahl der Möglichkeiten.

QUELLE :"Mathematik" Analytische Geometrie/Stochastik Band 2 mit Lösungsbuch ,Cornelsen Verlag

Kostet 45 Euro

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Ich erkläre das in einer einfachen Reihe.

Wir gehen davon aus, dass jedes Spiel in exakt 3 verschiedenen Arten enden kann. Hätten wir nur ein einziges Spiel, so gäbe es genau 3 mögliche Endergebnisse.

Nehmen wir an, wir hätten 2 Spiele, dann wären es 3*3 Möglichkeiten, denn jede Möglichkeit des ersten Spieles kann mit jeder Möglichkeit des zweiten Spiels gepaart werden. 3*3 = 3^2

Nehmen wir an, wir hätten 3 Spiele, dann wären es 3*3*3 Möglichkeiten, denn jede Möglichkeit des ersten und zweiten Spieles (3*3) kann mit jeder Möglichkeit des dritten Spiels gepaart werden. 3*3*3 = 3^3.

Daran lässt sich ein Muster erkennen. Die Antwort auf die Frage ist 3^x, wobei x die Anzahl der Spiele beträgt. Wir haben 9 Spiele, also ist die Antwort 3^9.

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