Frage von deinemudda237u, 53

Mathehausaufgaben Ableitungen verwirrt :D?

Hallo liebe Community, ich allgemeinen habe ich zwei Fragen und wäre so dankbar, wenn mir einer von euch helfen könnte. 1: ich bekomme ständig falsche Ergebnisse bei den Ableitungen von 5^x und (x^2+4)/4x. Also habe die Lösungen, aber ich finde den richtigen Rechenweg nicht. 2: ich bin bei dieser Aufgabe einfach ziemlich verwirrt und weiß gar nicht, was ich machen soll: 1. An welchen Stellen haben die Graphen von f(x)=x^2 und g(x)=x^3 parallele Tangenten? 2. Wie groß ist jeweils die Steigung mit den Schnittpunkten von f und g? Also ich war am Anfang von dem Thema nicht in der Schule und deswegen habe ich keine Ahnung, was es sich mit der Tangenten auf sich hat und wäre so dankbar, wenn mir jemand Hilft, da ich gerne wieder guten Anschluss finden will :)

Antwort
von Geograph, 11

" An welchen Stellen haben die Graphen von f(x)=x^2 und g(x)=x^3 parallele Tangenten?"

Im Bild habe ich das mal für die Funktion g(x) = x³ (rote Kurve) gezeichnet

Die erste Ableitung g'(x) = 3x² (blaue Kurve) gibt den Anstieg der Kurve g(x) als Funktion von x, also den Anstieg einer Tangente an der Kurve g(x) im Punkt x

Z.B. hat die Funktion g’(x) für x=1 den Wert g’(1)=3.
Das bedeutet, dass die Tangente an der Kurve g(x) im Punkt x=1 den Anstieg 3 hat.

Zur eigentlichen Aufgabe:
gesucht ist eine parallele Tangente an die Funktion g(x) = x³

Eine parallele Tangente hat den Anstieg 0. Gesucht ist also der x-Wert der Funktion, bei dem die erste Ableitung g’(x) = 3x² = 0 ist und das ist eindeutig nur bei x = 0 der Fall.


Kommentar von Geograph ,

Sorry
Gerade habe ich die Frage " An welchen Stellen haben die Graphen von f(x)=x^2 und g(x)=x^3 parallele Tangenten?" noch mal gelesen.

Gesucht sind die Werte für x, bei denen die ersten Ableitungen der beiden Funktionen gleich sind, d.h. bei denen die Anstiege der Tangenten gleich und damit die Tangenten parallel verlaufen.

Gesucht ist also das x für das die ersten Ableitungen der Funktionen gleich sind.
f’(x) = 2x = g’(x) = 3x²
x * (2 – 3x) = 0
x1 = 0
x2 = 2/3 = 0,667

Kommentar von Geograph ,

Eigentlich wollte ich ja schon meckern über den Ausdruck "parallel" in der Aufgabe, da sich dann sofort die Frage stellt "parallel wozu"

Wenn "parallel zur x-Achse" gemeint wäre (wie ich fälschlicherweise annahm), hätte dort "waagerecht" stehen müssen.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe, 21

ableitung a^x da kann ma die Formel googeln;

x²+4)/4x = 1/4 x + 4x^-1 und ableiten:

1) f ' = g ' und x berechnen

2) f = g setzen und das darau berechnete x in f
 einsetzen.

Antwort
von DoktorMayo, 15

Also, zu deiner Frage bzgl. der Tangente... eine Tangente ist eine Gerade, die die Kurve nur in einem Punkt berührt. Diese Gerade hat eine bestimmte Steigung. 

Die Ableitung gibt jetzt diese Steigung der Tangenten an einer Stelle x an, z. B.:

f(x)= x^3

f'(x)= 2x^2 

Untersucht man nun die Stelle x=1 ergibt sich f'(1)= 2

D. h. die Tangente an den Graphen der Funktion f an der Stelle x=1 (also im Punkt (1|f(1)=1) hat die Steigung 2. 

Auf die anderen Fragen hast du ja schon Antworten bekommen :)

LG DoktorMayo 

Kommentar von Geograph ,

f'(x)= 3

Kommentar von DoktorMayo ,

Ah, war zu spät abends, natürlich... danke

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe, 16

Soll es heißen -->

(x ^ 2 + 4) / (4 * x)

oder

((x ^ 2 + 4) / 4) * x

??

Ich gehe mal von dem ersten aus.

----------------------------------------------------------------------------------------------------

(a ^ x)´ = ln(a) * a ^ x

Einfach merken.

----------------------------------------------------------------------------------------------------

(a * x ^ 2 + b) / (c * x) = (a / c) * x + (b / c) * x ^ (-1)

((a / c) * x + (b / c) * x ^ (-1))´ = (a / c) - (b / c) * x ^ -2

Das ist deshalb so, weil 1 / x = x ^ (-1) ist und a * x ^ n abgeleitet n * a * x ^ (n - 1) ist.

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Angewendet auf deine Funktionen -->

f(x) = 5 ^ x

f´(x) = ln(5) * 5 ^ x

---------------------------------------------------------------------------------------------------

f(x) = (x ^ 2 + 4) / (4 * x)

a = 1 und b = 4 und c = 4

f´(x) = (1 / 4) - (4 / 4) * x ^ -2

f´(x) = (1 / 4) - x ^ (-2)

Dafür kann man auch schreiben -->

f´(x) = 1 / 4 - 1 / (x ^ 2)

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