Frage von sunnybunnyx33, 7

Matheaufgabe zu Kugelvolumen?

Hey:) Ich habe da mal eine Frage zu einer Matheaufgabe undzwar:"Laut gelingt es, in vier Sekunden einen kugelförmigen Luftballon auf 12cm Durchmesserlänge auszublasen. Wie lange braucht sie noch, um ihn auf 24 cm Durchmesserlänge auszublasen?" Auf den ersten Blick hätte ich da jetzt gemeint, sie braucht noch 4 Sekunden mehr, da sie ja noch genau die Hälfte vor sich hat. Aber die Lösung ist 28 Sekunden und wir haben das im Unterricht auf der Basis des Volumens gemacht, aber ich kann mir nicht erklären warum. Wäre nett wenn mir da jemand behilflich sein könnte. Danke im voraus.

Antwort
von wictor, 3

Ganz einfach: das Volumen steigt nicht proportional zum Durchmesser an. Das ist auch logisch. Stell dir mal bildlich vor, wie oft der ursprüngliche Luftballon in den neuen hineinpassen würde.

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe,


V  = 4/3 π r³        mit r = 6 cm Radius  (halber Durchmesser)
V₁ = 4/3 π r₁³       mit r₁ = 12 cm Radius - der große Ballon

V₁ / V = r₁³ / r³
V₁ / V = 12³ / 6³   | 3. Potenzgesetz
V₁ / V = 2³
V₁ / V = 8 / 1      als Verhältnis geschrieben, also das achtfache Volumen.

4 sec * 8 = 32 sec

Wenn schon 4 Sekunden lang gepustet worden ist, sind noch 28 Sekunden nötig, um den Ballon auf den doppelten Durchmesser (bzw. Radius) zu bringen, denn 32 - 4 = 28 sec.
      

                                                
                              

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe, 2

Das Volumen des 4cm breiten Luftballons beträgt:

V = 4/3 * π * 6³ = 288π [cm³]

Das Volumen des 8cm breiten Luftballons beträgt:

V = 4/3 * π * 12³ = 2304π [cm³]

Der Luftballon wird mit 288π cm³/4s, also mit 72π cm³/s aufgeblasen.

Die Volumendifferenz beträgt 2016 cm³.

Somit werden für das restliche Aufblasen 2016/72π = 28/π [s] ≈ 8,931 [s] benötigt.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, nur her damit! :) 

LG Willibergi

Kommentar von sunnybunnyx33 ,

Aber wie kommt man anfangs darauf dass hier das Volumen gefragt ist und nicht zum Beispiel der Oberflächeinhalt der Kugel?

Kommentar von Willibergi ,

Das ginge theoretisch auch mit der Oberfläche, da die beiden Größen proportional zueinander sind.

Das ist dir überlassen, intuitiv würde ich allerdings das Volumen verwenden.

LG Willibergi

Kommentar von sunnybunnyx33 ,

Ich hab das ausprobiert mit dem Oberflächeinhalt aber dann würde es sich ja um das vierfache vergrößern und nicht um das achtfache

Kommentar von Willibergi ,

Au weia, ja da hast du Recht, der obige Kommentar ist Schwachsinn. Da war ich nicht ganz bei der Sache. ^^

V und O sind natürlich nicht proportional.

Kommentar von sunnybunnyx33 ,

und wie weiß man jetzt ob hier das Volumen gefragt ist oder der Oberflächeninhalt? Denn ich hätte des wenn ich des jetzt nicht wüsste, ganz bestimmt mit den Oberflächeninhalt ausgerechnet und wäre diesbezüglich auf ein falsches Ergebnis gekommen

Kommentar von Willibergi ,

Es geht ja um das Volumen, das sich ändert, weil immer mehr Luft hinzugegeben wird. Der Oberflächeninhalt ist uninteressant.

LG Willibergi

Antwort
von Tueri, 3

V=1/6*pi*d³

V(12)=1/6*pi*(12cm)³=1728cm³

V(24)=1/6*pi*(24cm)³=13824cm³

1728cm³ entspricht 4sec

13824cm³ entsricht x

x=32 sec

Für den Ballon mit dem Durchmesser 24 cm braucht sie 32 Sekunden. Zieht man davon die 4 Sekunden, die sie für die 12 cm braucht, ab, kommt man auf 28 Sekunden. Um von 12 cm Durchmesser auf 24 cm Durchmesser zu kommen, braucht sie 28 Sekunden.

Das ist so, weil der Durchmesser in der Formel hoch DREI genommen wird. Bei einer Linie (1-Dimensional) hättest du recht mit doppelte Länge=doppelte Zeit, bei einer Fläche (2-Dimensional) rechnet man mit hoch ZWEI, was sich dann auch im Ergebnis widerspiegelt.

Doppelte Länge: xcm * 2 = 2 x cm

Doppelter Umfang einer Fläche: (x*2)cm² = 4 x cm²

Doppelte Fläche eines Volumen: (x*2)cm³ = 8 x cm²

Antwort
von Stefg, 3

Die formel zur berechnung des kugelvolumen lautet wie du vermutlich weißt: pi*(d^3)/6
Also wenn du den durchmesser verdoppelst, verachtfacht sich das volumen
Das heißt er würde 8x so lange brauchen den ballon von 0 auf 24cm aufzublasen wie von 0 auf 12
Da er in der aufgabe allerdings schon auf 12cm aufgeblasen ist, hat er bereits 4s geblasen
Heißt wenn er jetzt noch zusätzlich zu den 4s das 7fache der zeit bläst(28!!!!) hat er gesamt 8x so lange geblasen um auf die 24cm zu kommen als auf die 12

Antwort
von bartman76, 3

Der Radius (halber Durchmesser) steht in der Berechnung des Kugelvolumens in der 3. Potenz, daher verdoppelt sich das Volumen nicht bei VErdopplung des Radius´ sondern ver8facht sich.

Antwort
von Halswirbelstrom, 4

Die Kugel mit dem doppelten Durchmesser hat das achtfache Volumen.

Antwort
von mefsio, 1

Rechne das Volumen der 12cm Kugel aus und teile es durch die Zeit = "Pustegeschwindigkeit".
Dann Rechnest du das Volumen der 24cm Kugelschale aus und teilst durch die "Geschwindigkeit".

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