Frage von MxrxeSo, 130

Matheaufgabe lineares Wachstum?

Hallo ihr Lieben! Ich schreibe morgen eine Matheklausur im 9. Jahrgang und unser Lehrer hat uns eine Aufgabe zum üben gegeben, bei der ich leider nicht weiter komme...

Aufgabe: Ein Landwirt verpachtet sein Feld und bekommt 2 Angebote, die jeweils 1 Jahr lang laufen. Angebot 1: Im ersten Monat bekommt er 1000€ und in jedem nächsten bekommt er 100€ mehr, als im Vormonat. Angebot 2: Im ersten Monat bekommt er 5€, dann jeden Monat das doppelte vom Vormonat.

a) Stelle Funktionsgleichungen für jedes Angebot auf. b) Welches Angebot soll er wählen? Begründe.

Also für Angebot 2 habe ich die Funktionsgleichung f(x)= 5*2^2, aber welche benutze ich bei Angebot 1? Wenn ich nämlich f(x)= 100x+1000 nehmen würde, würde ich ja nur ausrechnen, war er im x-ten Monat erhält...

Danke schonmal für eure Antworten!

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik & Schule, 12

Hallo,

das erste Angebot ist die Summe aus (1000+100*(n-1) für n=1 bis n=2, was nach 12 Monaten 12000+66*100=18600 Euro ist.

Ohne Summenzeichen lautet die Folge f(n)=50n*(n+19).

Die zweite Folge lautet dann f(n)=5*(2^n-1).

Nach 12 Monaten kommen 5*(2^12-1)=5*4095=20475 Euro zusammen. Das zweite Angebot ist also besser.

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von PhotonX, 39

Hi, bist du sicher, dass es hier um lineares Wachstum geht? Wenn die monatlichen Raten linear steigen, dann sollte der Gesamtgewinn quadratisch steigen. Und im zweiten Fall, wo die Raten sich jeden Monat verdoppeln, sollte der Gewinn sogar exponentiell steigen!

Kommentar von MxrxeSo ,

Im Moment bin ich mir irgendwie gar nicht mehr sicher bei dieser Aufgabe, daher habe ich leider keine Ahnung...

Antwort
von CookieJessy, 34

Bist du dir sicher, dass deine Funktion für das 2. Angebot stimmt, den du hast kein x in deine Funktion und somit ist es keine Funktion?

Kommentar von MxrxeSo ,

Achse ja, tut mir leid ich hab für x aus Versehen 2 eingesetzt. Also eigentlich habe ich f(x) = 5*2^x hier stehen :o 

Kommentar von MxrxeSo ,

Hupps, nicht Achse :D *Achso

Kommentar von CookieJessy ,

Falls es dir hilft wenn man sich es ohne Formel ausrechnet sollte 18.600 herauskommen

Antwort
von ksamuel, 66

Ui ist das lange her, aber ich denke f(x)=1000*1,1 korrigiere mich bitte falls das falsch ist.

Kommentar von MxrxeSo ,

Ja ich denke, das ist falsch, weil das die Formel für ein exponentielles Wachstum wäre, aber dieses linear ist.. Das heißt, es steigt nicht jeden Monat um 1,1 an, oder?

Kommentar von ksamuel ,

Nein, 1,1 ist ein Faktor, dieser drückt nichts anderes aus als das immer 10% zu K0 addiert werden - expotentiell, da hatte ich einen Denkfehler.
Dann ist dein Lösungsansatz richtig den du erwähnt hattest.

Kommentar von MxrxeSo ,

Alles klar :D Aber mit f(x)= 100x+1000 würde man doch nur ausrechnen, was er im x-ten Monat verdient. Ich hätte jetzt die Formel, bitte lach mich nicht aus sie ist wirsch, f(x)= [100*(x-1)] + (1000*x) Ich rechne 100 mit x-1, weil er im ersten Monat ja noch nicht die 100 € bekommt, sondern erst ab dem zweiten.

Kommentar von ksamuel ,

Genau das willst du doch wissen, nach 12 Monaten :)

Kommentar von MxrxeSo ,

Ja ist klar, aber nicht, was er im 12ten Monat bekommt, sondern was er nach 12 Monaten dann insgesamt hat...

Kommentar von ksamuel ,

Steht doch da "und in jedem Monat bekommt er 100€ mehr also bekommt er im 12ten Monat ebenfalls 100€.

F(x)=100*(12)+1000
F(x)=2200€

Kommentar von MxrxeSo ,

Ja, ich denke ich nehme diese Lösung. Hört sich logisch an :D

Kommentar von PhotonX ,

Für mich liest sich die Aufgabe eigentlich eher so, als würde der Farmer im ersten Monat 1000€ bekommen, im zweiten 100€ mehr als im ersten, also insgesamt 1100€ - in den ersten zwei Monaten also insgesamt 2100€. Wenn man das hochrechnet, erhält man 17600€ fürs Jahr, bei der zweiten Bezahlungsart sind es 5*(2^11-1)=10235€, also weniger. Aber mit linearem Wachstum hat das alles sehr wenig zu tun...

Kommentar von MxrxeSo ,

Könntest du mir erklären, warum du 2^11-1 rechnest? Ich dachte, man muss das hoch 12 nehmen :o

Kommentar von PhotonX ,

Im ersten Monat wird der Grundpreis von 5€ mit dem Faktor 1=2^0 multipliziert, im zweiten Monat um den Faktor 2=2^1, im dritten mit dem Faktor 4=2^2, im zwölften mit dem Faktor 2^11.

Kommentar von MxrxeSo ,

Oh, okay danke :)

Kommentar von PhotonX ,

Siehe dazu auch https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische\_Reihe#Herleitung\_der\_Formel\_f.C3.... Du musst hier die geometrische Reihe 5*2^k von 0 bis 11 summieren. Also: a_0=5, q=2 und n=11 in der Notation von Wiki.

Kommentar von PhotonX ,

Für die erste Option musst du 1000+100k von 0 bis 11 summieren, dafür brauchst du das hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsche_Summenformel

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