Frage von SuperMathe, 8

Matheaufgabe aus der Uni?

Hallo,

kann mir jemand bei meinen Matheaufgaben helfen. Habe leider beim Umformen von Ungleichungen nicht sehr viel verstanden und schaffe es nicht diese Aufgabe zu lösen. Kann mir jemand den Lösungsweg erklären.

Vielen Dank

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 8

Hallo,

zunächst quadrierst Du beide Seiten:

(ac+bd)²≤(a²+b²)*(c²+d²)

Ausmultiplizieren:

a²c²+b²d²+2abcd≤a²c²+b²c²+a²d²+b²d²

a²c²+b²d² stehen auf beiden Seiten der Ungleichung und heben sich auf:

2abcd≤b²c²+a²d²

2abcd auf die andere Seite:

0≤b²c²+a²d²-2abcd

Umwandeln nach 2. binomischer Formel:

0≤(bc-ad)²

Da ein Quadrat niemals negativ werden kann, stimmt die Aussage.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von SuperMathe ,

VIELEN DANK!

Kommentar von eddiefox ,

Hallo Willy,

wenn wir von der Ungleichung

ac+bc ≤ √(a²+b²) · √(c²+d²)

ausgehen, kann man sich erstmal nicht sicher sein, dass beim Quadrierung der Ungleichung die Ordnung erhalten bleibt, da die linke Seite negativ sein kann.

( Beispiel: -10 < 2, aber (-10)² > 2² )

Man kann auch nicht vom Ende her zum Anfang argumentieren, weil wir wieider vor dem gleichen Problem stünden:

aus A² < B² kann man nicht schliessen, dass A < B .
Man kann schliessen, dass daraus |A| < |B| folgt.

Schau mal in der Literatur, der Beweis geht etwas anders, ist nicht besonders lang. Ich hab gerade keine Zeit oder schaue morgen mal.

Lieben Gruss

Kommentar von Willy1729 ,

Dann kann man doch einfach eine Fallunterscheidung machen.

Die rechte Seite kann niemals negativ werden, da das Wurzelzeichen nur für positive Wurzeln definiert ist. Wäre die linke Seite also negativ, wäre sie auf jeden Fall kleiner als die rechte Seite.

Ist die linke Seite aber positiv, gilt meine Beweisführung.

Vielen Dank aber für den Hinweis. 

Kommentar von Willy1729 ,

Den 'offiziellen' Beweis kenne ich leider nicht, deshalb mußte ich mir selbst etwas ausdenken.

Kommentar von eddiefox ,

Stimmt, Fallunterscheidung reicht.

Gruss

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