Frage von Julia181213, 94

Mathe zum verzweifeln!?

Hallo.!

Wir haben in der Schule in einer Vertretungsstunde ein Blatt bekommen, mit dem wir nicht fertig geworden sind und welches wir nie wieder benutzen werden. Doch mir ist eine Aufgabe hängen geblieben, die so einfach wie genial ist. Ich bekomme die Lösung einfach nicht raus. Könnt ihr mir helfen.? Sie lautet:

"Bei einem Tischtenniswettkampf spielt jeder gegen jeden. Es gab 66 spiele. Wie viele teilnehmer gab es.?"

Danke.!

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 55

Hallo,

überlege einfach:

bei drei Spielern wären es drei Spiele, denn der erste müßte gegen zwei Gegner antreten, der zweite noch gegen einen, weil er gegen den ersten bereits spielte.

Bei vier Spielern wären es dementsprechend sechs Spiele, nämlich 3+2+1, bei fünf Spielern 10, nämlich 4+3+2+1.

Preisfrage: Welche aufeinanderfolgenden Zahlen, angefangen bei 1, muß man addieren, um auf 66 zu kommen?

Antwort: 11 (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66)

Die Zahl der Spieler ist um 1 höher als der größte Summand; es sind also 11+1=12 Spieler, die das Turnier unter sich austragen.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Willy1729 ,

Vielen Dank für den Stern.

Willy

Antwort
von GrobGeschaetzt, 49

Wenn du n Spieler hast, spielt der 1. Spieler gegen die anderen n-1 Spieler. Der 2. Spieler hat ja schon gegen den 1. gespielt, er spielt also noch gegen die restlichen n-2 Spieler. Der 3. Spieler hat bereits gegen den 1. und den 2. gespielt, er spielt also noch gegen die restlichen n-3 Spieler. Und so weiter. Der vorletzte Spieler spielt noch ein Spiel gegen den letzten und das war's. Jetzt zähle die Zahlen zusammen, so lange bis du auf 66 kommst.


Antwort
von iokii, 44

Wenn es n Spieler gibt, spielt der erste Spieler gegen n-1 Leute. Der 2. Spieler spielt auch gegen n-1 Leute, aber das Spiel gegen den ersten Spieler haben wir ja schon gezählt, es kommen also n-2 Spiele dazu. Beim dritten kommen n-3 Spiele dazu und so weiter. Insgesamt gibt es also n-1+n-2+n-3+...+1+0=1+2+3+....+(n-1)=(n-1)n/2 Spiele, wobei die letzte Umformung die Gausssche Summenformel ist. Diesen Term musst du jetzt nur noch mit 66 gleichsetzen und nach n auflösen.

Antwort
von poseidon42, 14

Nehmen wir Beispielhaft an es hätten 3 Leute teilgenommen, wie viele Spiele hätte es dann gegeben?
Seien die Spieler 1,2 und 3, dann wären alle möglichen Spiele :

1 gegen 2

1 gegen 3

2 gegen 3

2 gegen 1

3 gegen 1

3 gegen 2

Es gibt also doppelt so viele mögliche Kombinationsmöglichkeiten wie die Menge gültiger Spiele Elemente enthält, da ja in diesem Fall 1 gegen 2 das gleiche ist wie 2 gegen 1.

Haben wir also n-Spieler. Dann sind für den ersten Spieler n-1 Spiele möglich:

(1 gegen 1 nicht möglich)

1 gegen 2

1 gegen 3

1 gegen ...

1 gegen n

---> (n-1) Spiele

Für Spieler 2 folgt damit:

(2 gegen 1 wurde schon bei 1 abgehandelt, also nicht möglich)

(2 gegen 2 nicht möglich)

2 gegen 3

2 gegen 4

2 gegen 5

...

2 gegen n

----> (n-2) Spiele

Für den dritten dann n-3 Spiele und für den vierten dann n-4 Spiele.

Für den n-1 Spieler schließlich:

(n-1 gegen 1 nicht möglich, da in 1 behandelt)

(n-1 gegen 2 nicht möglich, da in 2 behandelt)

...

(n-1 gegen n-1 nicht möglich)

n-1 gegen n 

---> 1 Spiel für n-1.

Für n folgt:

n gegen n nicht möglich ---> 0 Spiele

Am Ende addieren wir alles und erhalten:

Zahl_Spiele = (n-1)+(n-2)+(n-3) + ... + n - (n-1)

Dies entspricht nichts anderes als der Summe von 1 bis n-1.

Mit der Gaußschen Summenformel folgt dann:

 = (n-1)(n-1 +1)/2

Ausrechnen und aufaddieren liefert:

Spiele(n) = 0,5*n^2 - 0,5n

Nun setzen wir gleich mit der Anzahl der Spiele und lösen mit Hilfe der pq-Formel dann nach n auf und erhalten:

---> n = 12

Damit gab es 12 Spieler.

Antwort
von Nalzet, 34

Die Formel dafür lautet: n*(n-1)/2 =66, wobei n die Anzahl Leute ist.

Die Lösung ist, es sind 11 Leute.

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