Frage von Fragesteller891, 43

Mathe: Wahrscheinlichkeitsverteilung mithilfe von Binomialkoeffizienten?

Hallo, Ich brauche dringend Hilfe! Schreibe morgen meine Mathe LK Klausur und ich habe mir ein Lösungsblatt angeschaut, dass uns unser Lehrer mitgegeben hat und habe nichts verstanden.

Eine Aufgabe war zum Beispiel: In einer Urne sind 4 rote und 5 schwarze Kugeln. Drei Kugeln werden ohne zurücklegen gezogen. Bestimmen sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X: Anzahl der roten Kugeln.

Nun wüsste ich bloß, wie man es mit einem Baumdiagramm löst. In den Lösungen stand aber etwas anderes dass ich hier nun schlecht aufschreiben kann. Ein Bruch, indem bereits Zahlen eingesetzt und ein Parameter K eingebaut wurde. Nun haben sie dort eine Tabelle gemacht und jedes K eingesetzt (k={0,1,2,3} für die Anz. der gezogenen roten Kugeln). Für weitere Verwirrung sorgte die Überschrift: "Wahrscheinlichkeitsverteilung mithilfe von Binomialkoeffizienten", denn dieser ist nach meinem Wissen bloß n über k. Dies hat aber nur etwas mit der Anzahl der Möglichkeiten zutun und nicht mit der Wahrscheinlichkeit.

Nun zu meiner Frage: Wie kann ich diese Wahrscheinlichkeit noch einfacher berechnen als mit einem Baumdiagramm? Am besten auch im Taschenrechner (GTR). Vielen, vielen Dank

Antwort
von KDWalther, 17

Mathematisch hast Du es hier mit einer sog. Hypergeometrischen Verteilung zu tun :-)

Die einzelnen W.keiten Deiner Verteilung werden hier tatsächlich mit Hilfe von Binomialkoeffizienten (BK) berechnet.

Beispiel: P(X = 1)
I Du ziehst 3 mal; eine Kugel soll rot sein. Hierfür gibt es (4 über 1) = BK(4,1) Möglichkeiten.
II Die restlichen 2 Kugeln dürfen nicht rot sein, müsen also aus der Menge der schwarzen Kugeln stammen. Hierfür gibt es (5 über 2) = BK(5,2) = BK(9-4,3-1) Möglichkeiten.
III Insgesamt gibt es (9 über 3) Möglichkeiten, aus der Menge von 9 Kugeln 3 herauszuziehen.

Verallgemeinert:
Du hast eine Menge von N (=9) Elementen. Davon haben M (=4) Stück ein bestimmtes Merkmal (hier: rot). Du ziehst n (=3) mal; k Elemente dieses Merkmals willst Du ziehen.
Dann erhälst Du:
I (M über k)
II ((N-M) über ((n-k))
III (N über n)

Das sollte mit den Termen, die Du in der Lösung stehen hast, übereinstimmen.

Kommentar von Fragesteller891 ,

Ja es kommt exakt das selbe heraus. Wow, Vielen lieben Dank dafür. Ich bin gerade sehr happy

PS: Gibt es dafür einen Befehl im Taschenrechner? 

Kommentar von KDWalther ,

Bislang kenne ich keinen TR, der die Hypergeom. Verteilung gespeichert hat. Falls Du eine Funktion selber definieren kannst, ginge es z.B. so:

hyp(nn,m,n,k) := nCr(m,k)*nCr(nn-m,n-k)/nCr(nn,n)

Dann könntest Du bei Deiner Aufgabe eingeben:

hyp(9,4,3,0) ... hyp(9,4,3,3)

bzw. hyp(9,4,3,x) in den y-Editor als Funktion eingeben und Dir in der Wertetabelle sämtliche Werte Deine Wahrscheinlichkeitsverteilung ausgeben lassen.

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