Frage von xDerSnapchatter, 50

Mathe Wachstumsfaktor unbegrenzt exponentiell?

Guten Tag. Ich habe Mathe Hausaufgaben bekommen. Ich bitte euch nicht diese zu lösen sondern mir lediglich zu helfen. Meine Aufgabe lautet wie folgt: "Stellen Sie die Wachstumsfunktion auf"

Dabei ist eine Tabelle gegeben.

Jahr : 1790/3,9Mio Einwohner
Jahr : 1800/5,3Mio Einwohner
Jahr : 1810/7,2Mio Einwohner Jahr : 1820/9,6Mio Einwohner Jahr : 1830/12,9Mio Einwohner

Den Startwert weiß ich aber wie ich den Wachstumsfaktor berechne ist mir unklar. Danke schon einmal im vorraus. (handelt sich um einen unbegrenzten)

LG

Expertenantwort
von MeRoXas, Community-Experte für Mathe, 28

Fast die selbe Aufgabe gab's schon vor ein paar Stunden:

https://www.gutefrage.net/frage/mathematik-exponentionalfunktion?


Ich nehme mal an, dass 1790 der Startzeitpunkt ist.

f(t)=B0*e^kt

B0=3,9

f(10)=5,3

3,9*e^10k=5,3 | :3,9

e^10k=1,35897 


Nun willst du das k aus dem Exponenten raus bekommen. Dies geschieht mit dem ln

10k=ln(1,35897) | :10

k=0,030673


Die Funktion lautet also:

f(t)=3,9*e^0,030673t


Allerdings stimmen die Werte für 1820 und 1830 nicht - falsch abgelesen oder es gibt eine Frage vom Lehrer, z.B. "Kann der angegebene Wert für die Jahre 1820 und 1830 stimmen?"


Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe, 9

Es ist natürlich wesentlich einfacher das Jahr 1790 auf 0 zu normieren und eventuell 3.9 Millionen auf 1 zu normieren, soll dies nicht gemacht werden dann gehst du so vor -->

y(t) = a * e ^ (k * t)

1.) 3900000 = a * e ^ (k * 1790)

2.) 5300000 = a * e ^ (k * 1800)

3.) a = 5300000 / e ^ (k * 1800)

a aus 3.) in 1.) einsetzen -->

4.) 3900000 = 5300000 / e ^ (k * 1800) * e ^ (k * 1790) | : 5300000

5.) (39 / 53) = e ^ (k * 1790) / e ^ (k * 1800)

6.) (39 / 53) = e ^ (k * 1790 - k * 1800)

7.) (39 / 53) = e ^ (- 10 * k) | ln (...)

8.) ln (39 / 53) = - 10 * k

9.) k = - ln (39 / 53) / 10

10.) k = 0.03067302674224754

k in 3.) einsetzen -->

11.) a = 5300000 / e ^ ((- ln (39 / 53) / 10) * 1800)

12.) a = 5.57504793976166651958 * 10 ^ - 18

y(t) = 5.57504793976166651958 * 10 ^ -18 * e ^ (0.03067302674224754 * t)

Wie MeRoXas bereits geschrieben hat stimmen die Werte für 1820 und 1830 nicht.

Beispiel -->

Für das Jahr 1700 ist y(1700) = 246697 Einwohner das ist zirka eine viertel Millionen Einwohner.

Bei solchen Formeln muss man aufpassen, sie werden in der realen Lebenspraxis meistens umso ungenauer, je weiter man in die Vergangenheit oder die Zukunft rechnet.

Antwort
von atoemlein, 16

Wenn du einen Wachstumsfaktor hast oder ausgerechnet hast, so ist das ein "unbegrenzter", "ewiger".

Das heisst, mathematisch steigt die entsprechende Kurve über alle Grenzen und immer schneller.
Real würde es bedeuten, dass etwas immer grösser wird, und zwar immer schneller. Es kommen immer gleich viele Prozent des vorherigen Werts hinzu.

Es gibt nichts in der Realität, das so (also ewig und immer schneller) wachsen kann.
Auch die Wirtschaft nicht, auch wenn uns das sämtliche Ökonomen und Politiker weismachen wollen...

Daneben gibt es auch negative "Wachstums"faktoren, das sind dann Schrumpfungsfaktoren, wie sie z.B. beim radioaktiven Zerfall vorkommen, oder wenn eine Leuchtfarbe "aufgeladen" ist und langsam dunkler wird.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe, 13

kn = ko • a^t

5,3 = 3,9 • a^10 nach a umformen

a = 10. wurzel (3,9/5,3)

a = 1,03 Wachstumsfaktor

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