Frage von abi1704, 26

Mathe Wachstum 12. Klasse?

Hallo liebe Community,

ich habe da mal eine Frage:

Ich habe in Mathe (12. Klasse, Gymnasium) Wachstum. Dort gibt es ja lineares, expotentielles, begrenztes und logistisches Wachstum. Und dort für jede Art eine Gleichung f(x) sowie die Differenzialgleichung f'(x).

Jetzt gibt es Übungsaufgaben, bei denen eins von beidem gegeben ist und da zu noch der Anfangsbestand A f(0) oder irgendwas anderes wie f(1). Wie komme ich dann auf das jeweils andere?

Andere Aufgabe:

Und wenn ich jetzt die Wachstumsfunktion habe, wie komme ich auf den Anfangsbestand? also muss ich dann bei f(x) einfach für x=0 einsetzten?

Vielen Dank im Voraus :)

PS: noch eine Frage:

der ln(0,5) durch k war die Halbwertszeit und

der ln(2,0) durch k war die Verdopplungszeit,oder?

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik, 4

Dieses f(x) ist nicht eine Gleichung, sondern eine Funktion der Variablen x, die beispielsweise die Zeit darstellen kann.

Eine Gleichung wäre ein Ausdruck der Form »f(x) =…«, etwa, bei exponentiellem Wachstum,

(1) f(x) = f(0)·e^{αx}.

Übrigens ist aufgrund der Potenzgesetze

(2) f(x) = f(0)·a^{αx/ln(a)},

man kann also jede Exponentialfunktion durch eine e-Funktion ausdrücken.

Außerdem ist f'(x) noch keine Differentialgleichung, sondern nur die Ableitung einer Funktion f(x) nach x.

Eine Differentialgleichung ist ein Ausdruck, in dem idealerweise f(x) und f'(x) vorkommen, beispielsweise in

(3) f'(x) = αf(x).

Und ja, durch Einsetzen von 0 für x ermittelt man den Anfangswert.

Antwort
von EtechnikerBS, 10

Ich denke du meintest da oben statt Differenzialgleichung Ableitung ;) ist ein bisschen was anderes.

Prinzipiell musst du immer irgendwie genug infos kriegen, um so viele Gleichungen mit Bedingungen aufstellen zu können, wie du Parameter im Wachstumsmodell hast. Die Bedigungen setzt du dann in das Model ein und bestimmst so die Funktion.

Und wenn du di hast, kann man da dann den Rest draus ablesen/berechnen.

Und das mit dem ln stimmt wahrscheinlich wenn du dabei eine e-Funktion vor Augen hast, die ungefähr so ausieht: e^(k*t). Allgemein ist das ja wie der Name vermuten lässt die Zeit in der sich die Funktion verdoppelt oder halbiert.

Kann man natürlich auch für Exponetialfunktionen mit anderen Basen ausrechnen, dann nur halt anders ;)

Kommentar von abi1704 ,

Ne, meine da oben die DGL.

Kommentar von EtechnikerBS ,

Was soll denn eine DGL für einen Wachstumsprozess sein und warum nennst du sie dann f'(x)?

Kommentar von SlowPhil ,

Z. B.

f'(x) = αf(x)

ist eine DGL für ein Wachstum bezüglich der Variable x.

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