Frage von automatisch11, 34

Mathe, vollständige Induktion - Induktionschritt?

Hallo, ich frage mich schon seit einiger Zeit, wonach man bei der vollständigen Induktion das Ergebnis auflöst bzw. die Formel umstellt. Einerseits sehe ich, dass das Ergebnis am Ende der zu zeigenden Induktionsbehauptung ähnelt, dann habe ich wieder Musterlösungen, bei denen ich die Ergebnisse rein von der Form überhaupt nicht zuordnen kann? Wonach stellt man um? Oder ist das egal, wann weiß ich das ich fertig bin?

Antwort
von iokii, 18

Wenn was wahres da steht, bei der Induktion geht es nicht darum, irgendwas zu berechnen.

Antwort
von poseidon42, 11

Also du machst ja zuerst mal eine Annahme. Dann zeigst du, dass die Annahme für ein bestimmtes n deiner Definitionsmenge stimmt. Nun ist die Induktionsvoraussetzung, dass deine Annahme für ein beliebiges aber festes n der Definitionsmenge stimmt. Nun musst du im Induktionsschluss zeigen, dass unter Zuhilfenahme der Induktionsvoraussetzung die Behauptung für n+1 rauskommt. Wenn du das geschafft hast war es das auch schon. An einem Beispiel, die Gaußsche Summenformel:

sum[1, n](k) = n*(n+1)/2    n >= 1 Element von N

Induktionsanfang)   n = 1

sum[1,1] = 1 

1*(1+1)/2 = 1 

Damit ist die Aussage schon einmal für n = 1 wahr.

Induktionsvoraussetzung)

Angenommen die Aussage gelte nun für ein festes aber beliebiges n, mit n>=1 Element von N.

Induktionsschluss)  n -> n+1

[ Hier musst du nun zeigen, dass deine wahre Aussage für n, n+1 impliziert ]

sum[1,n+1](k) = sum[1,n] + (n+1) 

II Zuerst gilt es die Aussage zu zerlegen, so das du deine Induktionsvoraussetzung benutzen kannst

sum[1,n+1](k) = sum[1,n] + (n+1)  

 II  sum[1,n](k) = n(n+1)/2  nach Induktionsvoraussetzung !!!

sum[1,n+1](k) =  n(n+1)/2 + (n+1)  II Ausklammern von (n+1)

sum[1,n+1](k) = (n+1)(n/2  + 1)   II Ausklammern von 1/2

sum[1,n+1](k) = (n+1)(n + 2)/2 

Und dies ist unsere Aussage für n+1, somit haben wir gezeigt, dass unsere Behauptung für alle n >= 1 Element von N wahr ist, nach dem Prinzip der vollständigen Induktion.

Also im Endeffekt musst du zeigen, dass man A(n+1) in eine Aussage mit A(n) zerlegen kann und die Umformung durch ersetzen mit der Behauptung nach Induktionsvoraussetzung zu einem von A(n+1) äquivalenten Ausdruck führt. Häufig sieht man das nicht sofort, zum Beispiel:

(2n + 1)(n+1) = 2n² +3n +1 

Da hilft es dann manchmal deine Aussage für A(n+1) erstmal in einen zu deinem Ergebnis vergleichbaren Ausdruck umzuformen, durch zum Beispiel ausmultiplizieren etc.. 

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe, 15

fertig bist du, wenn du den Schluss von n auf n+1 gezeigt hast;

ohne Beispiel schwer zu beschreiben.

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community

Weitere Fragen mit Antworten