Frage von Paul110599, 5

Mathe: Vektoren und Ebenen?

Ich hab in Mathe eine Aufgabe mit einer Ebene E und einer Geraden g. Als erstes hab ich zu überprüfen, ob die Gerade in der Ebene liegt, das hab ich gemacht und sie liegt in der Ebene. Jetzt soll ich den Weg beschreiben, wie man eine Gleichung für eine Gerade h aufstellen kann, die senkrecht zur Geraden g liegt und immer noch in der Ebene E liegt. Kann mir jemand das erklären?

Die Ebene ist in Koordinatenform: x-2y+3z=6 (eigentlich x1, x2 und x3 aber ich weiss nicht, wie man den kleinen Index unten an die Zahlen schreibt). Der Stützvektor der Geraden ist (-1/-2/1) und der Richtungsvektor (1/5/3).

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe, 3

Einen Punkt von h können wir beliebig auf der Geraden wählen, der Stützvektor der Geraden g bietet sich ja als Ortsvektor geradezu an.

Die Schwierigkeit besteht nun darin, einen Richtungsvektor für h zu finden. Dieser Vektor muss parallel zu E aber senkrecht zu g sein.

Wir können natürlich eine allgemeine Gleichung aufstellen und diese lösen, aber es geht auch einfacher. Wir nutzen aus, dass das Kreuzprodukt zweier Vektoren senkrecht auf beiden Vektoren steht.

Wir brauchen also einen Vektor, der senkrecht zur Ebene steht - der steht dann auch automatisch senkrecht auf der Geraden.

Durch die Koordinatenform der Ebene haben wir ja schon einen Vektor gegeben, der senkrecht auf E steht: Wenn wir zum Ortsvektor eines Punktes P auf E einen Vektor v addieren, für den v_1 - 2 v_2 + 3 v_3 = 0 ist, so liegt der Punkt zum neuen Vektor wieder in der Ebene.

v_1 - 2 v_2 + 3 v_3 können wir auch als Skalarprodukt schreiben:

(1, -2, 3) ⋅ v

bzw.

⟨(1,-2,3), v⟩

(die beiden gebräuchlichsten Schreibweisen für Skalarprodukte)

Nun stehen zwei Vektoren genau dann aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist. Damit ist dieser Vektor n := (1,-2,3) gerade ein Normalenvektor von E.

Wir bezeichnen den Richtungsvektor von g mit r. r = (1,5,3)

Damit ist das Kreuzprodukt von n und r ein Vektor, der senkrecht zu n und r steht. Weil er senkrecht auf r steht, steht er senkrecht zu g, und weil er senkrecht zu n steht, ist er parallel zur Ebene.

Ausrechnen dieses Vektors:

Allgemeine Form des Kreuzprodukts (auch Vektorprodukt genannt):

(a_1, a_2, a_3) × (b_1, b_2, b_3) = (a_2 b_3 - a_3 b-2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1)

Damit ist der gesuchte Richtungsvektor für h:

(1,-2,3) × (1,5,3)

= ( (-2)(3) - (3)(5), (3)(1) - (1)(3), (1)(5) - (-2)(1) )

= (-6-15, 3-3, 5+2)

= (-21,0,7)

Den kann man noch kürzen, wenn man will - es kommt ja nur auf die Richtung, nicht auf die Länge des Vektors an.

Daraus eine Gleichung von h (Punkt-Richtungs-Form) zusammenzustellen ist trivial.

Antwort
von surbahar53, 2

Vektoren stehen senkrecht zu einander, wenn gilt

a1*b1 + a2*b2 + a3*b3 = 0.

Für den Richtungsvektor der gesuchten Geraden h muss also gelten

1 * hR1 + 5 * hR2 + 3 * hR3 = 0

Der Stützvektor von h kann identisch mit dem Stützvektor von g sein

Die Gerade h lautet also

h1 = -1 + n * hR1
h2 = -2 + n * hR2
h3 = 1 + n * hR3

Jeder Punkt der Geraden h muss auf der Ebene liegen

(-1 + n * hR1) - 2 * (-2 + n * hR2) + 3 * (1 + n * hR3) = 6
-1 + n * hR1 + 4 - 2 * n * hR2 + 3 + 3 * n * hR3 = 6
n * hR1 - 2 * n * hR2 + 3 * n * hR3 = 0
hR1 - 2 * hR2 + 3 * hR3 = 0

Man hat also die beiden Gleichungen

hR1 + 5 * hR2 + 3 * hR3 = 0
hR1 - 2 * hR2 + 3 * hR3 = 0

Zieht man die voneinander ab, erhält man

7 * hR2 = 0, also hR2 = 0

Nun setzt man (beliebig) hR1 = 3

3 + 0 + 3 * hR3 = 0, und damit hR3=-1

Die Gerade h lautet also

h1 = -1 + n * 3
h2 = -2 + n * 0
h3 = 1 + n * -1

Antwort
von poseidon42, 3

Nimm einnen beliebigen Punkt in der Ebene, er sei mal hier gegeben durch den Ortsvektor p.

Seien v1 und v2 die beiden Spannvektoren der Ebene. Berechne nun den Normalenvektor der Ebene, hier n, durch das Kreuzprodukt, es gelte also:

n = v1 x v2

Sei nun vg der Richtunsvektor der Geraden g. So folgt der Richtungsvektor vh der Geraden h zu:

vh = vg x n

--> vh = vg x ( v1 x v2) = v1*<vg, v2> - v2*<vg, v1>

mit dem Skalarprodukt " < arg1 , arg2 > "

Somit lautet dann die Geradengleichung von h:

(x1, x2, x3) = p + k*vh

mit Variable k aus IR.

Damit also "ausgerechnet":

h: (x1, x2, x3) = p + k*[ v1*<vg, v2> - v2*<vg, v1> ]   , k aus IR.

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