Frage von Fragant777, 47

Mathe Ungleichungen Lösungsmengen ß?

Hi,

ich wollte euch fragen ich habe eine Aufgabe gelöst : |x-4| >x²

Ich habe diese Aufgabe mit 2 Fallunterschiedungen gelöst.

Beim 1.Fall kam keine Lösung und

beim 2.Fall kam für x1= 1,56 , und x2= -2,56 raus.

Jetzt die Frage:

Wie kann ich kontrollieren ob die Lösung stimmt (rechnerisch) oder sollte ich einfach

Lösungsmenge {1,56 , -2,56} hinschreiben?

Danke im Vorraus!

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathematik, 28

hätt ich genauso gemacht:
1. x-4>x² und x-4>=0
=> x²-x+4<0 und x>=4    => keine Lösung, da nach pq-Formel Wurzel negativ
2. -(x-4)>x² und x-4<0
=> -x+4>x² und x<4
x²+x-4<0 und x<4 => als Gleichung lösen: x1=1,56; x2=-2,56
Lösung -2,56<x<1,56

gibst Du die Grenzen in die Ausgangsungleichung ein ("ungerundet") so steht auf beiden Seiten das Gleiche, nimm einen Wert knapp über 1,56 oder unter -2,56 und die Ungleichung stimmt nicht mehr; nimm Werte innerhalb des Intervalls und die Ungleichung stimmt.

Wie man das eleganter kontrolliert wüsste ich im Moment auch nicht...

Kommentar von Fragant777 ,

Vielen Dank für deine Antwort!

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Gleichungen & Mathematik, 9

Damit du was für die Anschauung hast, lass es dir mal plotten. Dann siehst du, dass genau zwischen diesen x-Werten |x-4| über den Werten der Parabel liegt.
Du kannst natürlich auch einige x einsetzen und rechnen, aber ein Graph ist immer gut für die Vorstellung.
Wolfram kriegt das hin:

|x-4| > x²

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im Voraus mit einem r

Antwort
von ralphdieter, 7

Die Lösungsmenge einer (stetigen) Ungleichung (<) ist eine Vereinigung von offenen Intervallen. Die Intervallgrenzen sind entweder Lösungen der entsprechenden Gleichung (=), oder Randpunkte des Definitionsbereichs.

Deshalb berechnet man zuerst die Gleichung (=). Zur Kontrolle kannst Du alle Werte wieder in die Gleichung einsetzen.

Danach untersucht man jedes Intervall zwischen zwei benachbarten Lösungen: Erfüllt irgendein Wert dazwischen die Ungleichung, so ist das ganze Intervall in der Lösungsmenge enthalten. Andernfalls ist es komplett draußen.

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Bei Dir lauten die zu untersuchenden Intervalle

a) ]-∞, -2.56[
b) ]-2.56, 1.56[
c) ]1.56, ∞[.

Setze also zum Beispiel die Zwischenwerte -3, 0 und 2 in die Ungleichung ein:

zu a) |-3-4|>(-3)² ⇔ 7>9 ⇔ falsch!
zu b) | 0-4|>0² ⇔ 4>0 ⇔ richtig!
zu c) | 2-4|>2² ⇔ 2>4 ⇔ falsch!

Die Lösungsmenge ist also nur 𝕃 = ]-2.56, 1.56[.
(Hier stehen übrigens keine geschweiften Klammern — die nimmt man nur, um einzelne Werte aufzulisten oder eine Bedingung anzugeben.)

Für lineare und quadratische Ungleichungen gibt es zwar Regeln, die einem das Probieren ersparen können, aber viel gewonnen hat man dabei nicht. Spätestens bei der Probe wird man ja doch wieder einen Beispielwert einsetzen.

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P.S.: |x-4| < x² hat die Lösungsmenge 𝕃=]-∞, -2.56[ ]1.56, ∞[.

Alternative Schreibweise: 𝕃 = { x∈ℝ | x<-2.56 ∨ x>1.56 }

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