Mathe und quadratische gleichungen?

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6 Antworten

Ich gehe mal davon aus, dass Du einen Lösungsweg ohne Ableitungen benötigst, richtig?

Ich sehe zwei mögliche Vorgehensweisen:

1) Da Du den Scheitelpunkt kennst, kannst Du von der Scheitelform ausgehen:
y = a·(x - xs)² + ys   Dabei ist S(xs|ys) der Scheitelpunkt.
Da Du S kennst, setzt Du die Koordinaten schon mal ein.
Dann brauchst Du nur noch den Parameter a bestimmen.
Du kennst ja zudem noch (mindestens) einen weiteren Punkt. Setzt Du nun zusätzlich dessen Koordinaten für x und y in Deine Gleichung ein, kannst Du mit der erhaltenen Gleichung a bestimmen.

2) Das Ganze anders aufgezäumt: Du kennst die beiden Nullstellen. Dann kannst Du auch mit der Primfaktorzerlegung arbeiten:
y = a·(x - x1)·(x - x2)
Hier sind x1 und x2 die beiden Nullstellen - die Du kennst. Einsetzen.
Nun kannst Du zusätzlich die Koordinaten von S einsetzen und mit dieser Gleichung wiederum a ausrechnen.

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Erstmal, alles Gute zum 17. Geburtstag nachträglich! ;) Ein Rezept für dich:

1. Benutze die Scheitelform (sagt dir das etwas?), um einen Ansatz zu machen, in dem nur noch der Streckfaktor a unbestimmt ist.

2. Setze eine der Nullstellen in den Ansatz ein um a zu bestimmen.

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Kommentar von only4u11899
15.08.2016, 22:37

haha dankeschön😊😊

1

Ich würde hierbei die Nullstellenform aufstellen und durch Einsetzen des Scheitelpunktes den Parameter a bestimmen.

f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)

x₁ = -4
x₂ = 0

Einsetzen:

f(x) = a(x - (-4))(x - 0)
      = a(x + 4)*x
      = ax(x + 4)
      = a(x² + 4x)

Nun den Punkt S(-2 | -4) einsetzen:

-4 = a((-2)² + 4*(-2))
-4 = a(4 - 8)
-4 = a*(-4)
-4 = -4a                        |:(-4)
 a = 1

Die Funktionsgleichung ist somit folgende:

f(x) = x² + 4x

Ein anderer Lösungsweg wäre natürlich, in die Scheitelpunktform f(x) = a(x - d)² + e den Scheitelpunkt S(d | e) einzusetzen und durch Einsetzen einer Nullstelle den Parameter a zu bestimmen.

Das funktioniert genauso. ;)

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi 

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Scheitelpunktsform

y=a(x+2)² - 4

jetzt eine Nullstelle einsetzen und a berechnen; x2 ist einfacher, also

0=a(0+2)² - 4

0= a(4) - 4

4 = 4a

a=1

also

y=1(x+2)² - 4

y=x²+4x+4-4

y=x²+4x

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y = (x - x1) • (x - x2) = (x + 4) • (x -0) = x² + 4x

Scheitelpunkt = Extremwert >>>

y' = 0 = 2x + 4 >>> x = -2  >> y = 4 - 8 = -4

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Du hast folgende Punkte gegeben:

SP(-2/-4)
NS(-4/0)
NS(0/0)

Die allgemeine Form für Parabeln ist:
y = ax² + bx + c

Wenn man alle 3 Punkte in die allgemeine Gleichung einsetzt bekommt man folgende 3 Gleichungen:

(1): -4 = 4a - 2b + c
(2): 0 = 16a - 4b + c
(3): 0 = c

Setzt man das c aus (3) in (2) und (1) an bekommt man die Gleichungen:

(1): -4 = 4a - 2b
(2): 0 = 16a - 4b

(1) oder (2) wird nun nach einer Unbekannten aufgelöst und eingesetzt in die andere (in meinem Beispiel forme ich (1) in b um)

(1): -4 = 4a - 2b |+2b
2b - 4 = 4a |:4
1/2b - 1 = a

In (2) eingesetzt:

0 = 16(1/2b - 1) - 4b
0 = 8b - 16 - 4b
0 = 4b - 16
b = 4

Das b nun oben in (1) eingesetzt heißt dann:

1/2•4 - 1 = a = 1

Damit kommt dann raus für die quadratische Funktion:
y = x² + 4x

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