Mathe Stammfunktion von Quotienten
Wie ist die allgemeine Regel dazu wenn die gegebene funktion: u(x)/v(x) wäre ? Ich habe schon gegoogelt und in meinen Unterlagen nachgeschaut aber nirgendwo schaffen sie es eine allgemeine Formel zu posten/schreiben - danke im voraus
5 Antworten
Das geht meist entweder mit partieller Integration oder Substitution. Eine Art direkter Rückrechnung wie bei den einfachen Integralen (etwa bei x^n) gibt es nicht.
Beide Begriffe sind sehr umständlich zu beschreiben, falls ihr es in der Schule noch nicht gehabt habt. Man muss wenigstens erst einmal wissen, wo es lang geht. Aber es sind auch beide unter diesen Bezeichnungen im Internet zu finden.
u' x v - v' x u und das ganze durch v^2
Ich denke nicht, dass es eine einzige einheitliche "passt-immer"-Regel gibt. -
Spruch meines Oberstufen-Mathelehrers (lang ist's her:) "Differenzieren ist ein Handwerk, Integrieren eine Kunst."
. . .
Zur Lösung mit Substitutionsregel siehe Ellejolka. Hervorhebung verdient vielleicht der Spezialfall logarithmische Integration:
ln f(x) = 1/f(x) * f'(x) = f'(x) / f(x) (Kettenregel) ⇒
∫ f'(x) dx / f(x) = ln | f(x) | + C;
Wenn im Zähler die Ableitung des Nenners steht, ist das Integral der natürliche Lograrithmus des Betrags der Nennerfunktion. Das bekommst du auch per Substitutionsregel mit
∫ f'(x) dx / f(x) =
- f(x) = t ⇒ f'(x) dx = dt
∫ dt / t = ln | t | + C = ln | f(x) | + C,
nur ist das dann auch nicht viel leichter zu "sehen" als ohne Substitution.
Unabhängig von der Substitutionsregel ist die Partialbruchzerlegung ein wichtiges Verfahren zur Integration gebrochen rationaler Funktionen. Dazu kann ich aber sicher nicht mehr sagen, als in
http://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung
steht.
pass auf das hier ist es u' x v - v' x u und das ganze durch v^2
