Frage von 2000coolmann, 21

Mathe Schulaufgabe zum Differentialquotienten?

Bestimme näherungsweise die Ableitung der Funktion f an der Stelle x0=2 mithilfe 
des Differenzquotienten h->0 
b) f(x)=2/x

-> wie rechne ich dass denn im Bruch

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, 7

Ich denke, gerade wegen der Brüche (und der Hyperbel, die ja dahintersteckt, wie wir wissen) brauchst du es etwas ausführlicher:

für x₀ = 2 haben wir den Punkt P₀ (2|1)

Jetzt ist     △y/△x = (f (x+h) - f(x)) / h                | x und (x+h) einsetzen
                            =  (2 / (x+h) - 2/x) /h              | Hauptnenner im Zähler
                            =  [(2x - 2(x+h))/(x(x+h)) ] /h   | ausklammern
                            = [(2x -2x -2h)/(x² + hx] / h     | Nenner zusammenbringen
                            =  -2h / (x² + hx) * h               | kürzen
                            = -2 / (x² + hx)                       

x₀ = 2 war ja vorgegeben. Eingesetzt:
                            = -2 /(4 + 2h)

Wenn h jetzt gegen 0 geht, ist der Limes davon:
                            = -2 / 4
                            = - 1/2

Antwort
von Melvissimo, 13

Der Differenzenquotient lautet (wie immer):

(f(x + h) - f(x)) / h

= (2/(x+h) - 2/x) / h. Nun machst du einfach im Zähler die beiden Brüche gleichnamig.

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