Frage von Schulabfrager11, 78

Mathe Schnittpunkt von zwei graphen bestimmen ohne GTR?

Kann mir jemand helfen ich kriege es nicht hin den Schnittpunkt Der beiden graphen

x^2 +1 und -(x -1 )^2 +4 zu bestimmen

Ich weiß das man die Gleichung gleichsetzen muss und dann nach x auflösen aber ich komme nicht zum Ergebnis das ich mit dem Taschenrechner bestimmt habe.

Ich habe zuerst x^2 +1 = -(x-1)^2 +4 geschrieben aber ab da löse ich irgendwie die klamma falsch aus.

Rauskommen sollte S1(-0.61 / 1.38) Und S2(1.61/3.61)

Kann mir bitte jemand erklären wie man das ohne GTR macht wäre wirklich echt nett

Mfg Markus :)

Antwort
von Myrine, 25

Also, dein Ansatz ist schon mal richtig. Die Klammer löst du mit Hilfe der 2. binomischen Formel auf und du darfst natürlich nicht vergessen, dass es eine Minusklammer ist.

x² +1 = -(x-1)² +4
x² +1 = -(x²-2x+1) +4
x² +1 = -x² +2x -1 +4
x² +1 = -x² +2x +3              |+x² -2x -3
2x² -2x -2 = 0                     |:2
x² -x -1 = 0

Jetzt kannst du die pq-Formel raussuchen und entsprechend einsetzen oder mit der quadratischen Ergänzun weiterrechnen:

x² -x +(1/2)² -(1/2)² -1 = 0       |+(1/2)² +1
x² -x +(1/2)² = (1/2)² + 1         | 2. binomische Formel anwenden
(x -1/2)² = 5/4                         |√()
x -1/2 = ±√(5/4)
x₁ -1/2 = √(5)/2     und     x₂ -1/2 = -√(5)/2
x₁ = 1/2 +√(5)/2     und     x₂ = 1/2 -√(5)/2
x₁ ≈ 1,62     und     x₂ ≈ -0,62

Die y-Werte bekommst du dann durch Einsetzen in eine der beiden Funktionsgleichungen.

Kommentar von Schulabfrager11 ,

Oha ich danke dir! Sehr ausführlich und gut erklärt ich habe es endlich verstanden. :)

Antwort
von poseidon42, 15

Also sei nun:

f(x) = x^2 + 1   und   g(x) = -(x-1)^2 + 4

Es gilt in einem Schnittpunkt:

f(x) = g(x)  

x^2 + 1 = -(x-1)^2 + 4    Ausmultiplizieren

x^2  + 1 = -(x^2 - 2x + 1) + 4

x^2 + 1 = -x^2 + 2x + 3  II - (x^2 + 1)

0 = -2x^2 + 2x + 2  Ausklammern von (-2):

0 = (-2)( x^2 - x - 1) 

"Ein Produkt wird Null, wenn einer der Faktoren Null ist."

--->    0 = x^2 - x - 1  II pq-Formel :   p = -1   und   q = -1

x(1|2) = 0.5 +/- (0.25 + 1)^(1/2)   [ (...)^1/2 = Quadratwurzel ]

Also:

x(1) = ( 1 + 5)/2      und     x(2) = (1 - 5)/2

Und nun um die Schnittpunkte auszurechnen einfach die jeweiligen x-Werte in eine der beiden Funktionen einsetzen, dabei gilt:

S_1 = ( x(1) |  f(x(1)) ) 

S_2 = ( x(2) | f(x(2)) )

Kommentar von Schulabfrager11 ,

Habe es jetzt hingekriegt danke für deine Antwort ! :)

Antwort
von mk2112, 31

-(x-1)^2 = -(x^2-2x+1) = -x^2+2x-1

Kommentar von Schulabfrager11 ,

Irre ich mich oder ich das eine binomische Formel :D ?

Kommentar von mk2112 ,

Nein, da liegst du ganz richtig. Die musst du anwenden um nach x auflösen zu können. ^^

Kommentar von Schulabfrager11 ,

Ohh das erklärt einiges :D vielen dank du hast mir ein ganzes Stück weiter geholfen :)

Kommentar von mk2112 ,

Kein Problem :-)

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