Mathe: Scheitelpunkt und quadratische Funktion?

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5 Antworten

Ich weiß nicht, ob ihr schon bei Ableitungen seid, aber ich finde es damit am einfachsten zu rechnen. Die Nullstelle der Ableitung einer Funktion ist der Scheitelpunkt der Funktion. (bzw. bei Funktionen mit mehreren Scheitelpunkten sind die Nullstellen der Ableitung halt die Extremwerte der Funktion)

Beispiel. Ich nehm mir mal die erste von deinen Funktionen.
f(x) = x²-4x+3

Davon machen wir die Ableitung
f'(x) = 2x-4

Und davon rechnen wir jetzt die Nullstelle aus (also wo der Graph durch die x-Achse durchbricht)

2x-4 = 0 |+4
2x = 4 | /2
x = 2

Also die Nullstelle ist an der Position x = 2. Jetzt rechnen wir den Y-Wert von x=2 aus, also die 2 wird in die Funktion eingefügt

f(2) = 2² -(4*2) + 3 = 4-8+3 = -1

y ist also -1. Der Scheitelpunkt der Funktion ist also (2|-1)

Kurzer Gegencheck via Google Graph: https://www.google.de/search?q=x%5E2+-+4x+%2B+3&oq=x%5E2+-+4x+%2B+3

Sieht gut aus. Das Gleiche jetzt mit der zweiten Funktion.

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Du solltest dir "Lücken lassen" angewöhnen, jedenfalls bei Aufgaben von diesem Typ. Beachte, dass vor dem x eine (unsichtbare) 1 steht.

f(x) = 1/2 x² + x  - 3                            | 1/2 ausklammern, aber nur teilweise
f(x) = 1/2 (x² + 2x +    ) -         - 3        | Zahl vor x halbieren, quadrieren
f(x) = 1/2 (x² + 2x + 1²) -  1/2 - 3        

Das war jetzt eben die quadratische Ergänzung:
Ich habe aus der Klammer ein Binom gemacht gemäß (a+b)², indem ich das Quadrat von 1 addiert habe. Um das zu kompensieren, muss ich es hinter der Klammer wieder subtrahieren, aber multipliziert mit 1/2, weil dies vor der Klammer steht.

Daher:
f(x) = 1/2 (x + 1)² - 3,5               Das ist die Scheitelpunktform.
         S(-1|-3,5)

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allgemeine Form f(x)=a2 *x^2 + a1 *x +ao

Scheitelkoordinaten bei x= - (a1)/82 *a2) und y= - (a1)^2/(4 *a2 + ao

f(x)=x^2 - 4 *x +3 ergibt a2=1 und a1=-4 und ao=3

x=- (-4)/2 *1=2 und y= - (-4)^2/(4 *1) +3=- 16/4 +3= - 4 + 3=- 1

Somit die Scheitelpunktform f(x)=a2 *(x +b)^2 +C mit C=y und b=-x=-2

f(x)=1 *(x-2)^2  - 1

Die Formeln resultieren aus der allgemeinen Umformung der quadratischen Ergänzug.Umformung von der allgemeinen Form f(x)=a2 *x^2+a1 *x +ao in die Scheitelpunktform f(x)= a2 *(x+b)^2 +C

Siehe Mathe-Formelbuch "Ganzrationale Funktion 2.Grades" (quadratische Funktion

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Das kannst du verallgemeinern -->

y = a * x ^ 2 + b * x + c = a * (x - u) ^ 2 + v

u und v lassen sich aus a und b und c berechnen -->

u = -b / (2 * a)

v = (4 * a * c - b ^ 2) / (4 * a)

Der Scheitelpunkt liegt dann bei (u | v)

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1.) f(x) = x ^ 2 - 4 * x + 3

a = 1 und b = -4 und c = 3

u = -(-4) / (2 * 1) = 2

v = (4 * 1 * 3 - (-4) ^2) / (4 * 1) = -1

Scheitelpunkt (2 | -1)

2.) f(x) = (1 / 2) * x ^ 2 + x - 3

a = (1 / 2) und b = 1 und c  = -3

u = -1 / (2 * (1 / 2)) = -1

v = (4 * (1 / 2) * -3 - 1 ^ 2) / (4 * (1 / 2)) = - 7 / 2

Scheitelpunkt (-1 | - 7 / 2)

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