Frage von springflower, 21

MAthe rationale Zahlen und andere zahlen?

Wir schreiben morgen einen Test, & könnte vielleicht jmd Zahlenmenge
|N   |Q.  |R    |R/ |Q    /Z definieren ? Bitte ich sterben morgen also einfach den Unterschied zwischen Ihnen ?

Antwort
von hairybear, 11

N ist die Menge der natürlichen Zahlen 1,2,3,4...

Q ist die Menge der rationalen zahlen. Also alle zahlen die man als Bruch darstellen kann 3/5 , Wurzel 2 und so

Z sind alle ganzen Zahlen ... -3,-2,-1,0,1,2,3...

R sind die reelen zahlen da sind alle Zahlen drin die du kennst.


Was du bachten solltest Jede zahl in N ist auch in Z enthalten

Jede Zahl in Z ist auch in Q enthalten und jede Zahl aus Q ist auch in R enthalten

Kommentar von Myrine ,

√2 ist nicht als Bruch darstellbar und damit auch keine rationale Zahl.

|R / |Q ist die Menge der reellen Zahlen ohne die Menge der rationalen Zahlen, also die irrationalen Zahlen (z.B. die Kreiszahl π oder √2)

Kommentar von kreisfoermig ,

Sorry, aber ℝ/ℚ ist der Quotientenraum der zwei additiven Gruppen ℝ, ℚ. Es gibt keine berechenbar oder gar messbare klassifikation der Elemente dieser Quotientengruppe.

ℝ\ℚ ist was hier gesucht wird: ℚ mengentheoretisch entfernt von ℝ, die Menge der irrationalen Zahlen.

Antwort
von kreisfoermig, 6

Wenn du wirklich wissen willst—des Wissens halber und nicht bloß um deinem Lehrer zu gefallen—wie man diese Mengen konstruiert…

  • ℕ ist die kleinste Menge, die 0 enthält und unter +1 stabil ist; dies bildet ein Semiring (ℕ,+,·,0,1).
  • ℤ ist die kleinste Gruppe, die das additive Monoid (ℕ,+,0) enthählt; dies bildet auch einen Ring.
  • ℚ ist der kleinste Körper, der den Ring (ℤ,+,·,0,1) enthählt;
  • ℝ ist zugleich: die topologische Vervollständigung (nach Dedekind) des linear geordneten Raumes (ℚ,<); die topologische Vervollständigung (nach Cauchy) des normierten Ruames (ℚ,|·|). Die Operationen +,· lassen sich stetig fortsetzen auf ℝ und (ℝ,+,·,0,1) bildet einen Körper.
  • ℂ ist die algebraische Vervollständigung von ℚ (äquivalent: von ℝ). Dieser Raum ist topologisch vollständig (im Sinne von Cauchy).

Trotz konkreter Darstellung sind die Element in ℝ logisch und ontologisch betrachtet mysteriös. (Nachschlagen: Forcing / P. Cohen)

Antwort
von Gerste94, 8

schau mal hier ;)

Kommentar von springflower ,

Danke!

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