Mathe Potenzfunktion Achsensymmetrie nachweisen?

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4 Antworten

Der Graph einer Funktion f heißt achsensymmetrisch zur y-Achse, falls 

f(x) = f(-x) für jede reelle Zahl x gilt. 

Anschaulich bedeutet das, dass der Graph von f an der y-Achse gespiegelt wird. 

Z.B. die Normalparabel f(x) = x² ist achsensymmetrisch zur y-Achse, weil stets

f(x) = x² = (-x)² = f(-x) gilt. Wenn du dir den Graphen anschaust, siehst du auch, dass die linke Seite das Spiegelbild der rechten Seite ist.

Bei Potenzfunktionen der Form 

f(x) = ax^n + bx^(n-1) + ... + cn² + dn + e ist es ziemlich einfach, auf diese spezielle Achsensymmetrie zu testen:

Der Graph einer Potenzfunktion f ist achsensymmetrisch zur y-Achse, falls alle auftretenden Exponenten gerade sind.

z.B. f(x) = x^4 + 2x² + 4 ist achsensymmetrisch zur y-Achse (den letzten Summanden kann man auch als 4 * x^0 schreiben). 

Aber g(x) = x^4 + 2x² + 4x ist es nicht.

Nun gibt es aber noch andere Achsen als die y-Achse. Z.B. die verschobene Normalparabel h(x)=(x-1)² hat auch irgendwie eine Achse, an der ihr Graph gespiegelt wird, nur ist es nicht die y-Achse sondern eine Parallele dazu. Dies führt zur folgenden Überlegung:

Falls h(x) eine Funktion ist, die achsensymmetrisch zu irgendeiner Parallelen der y-Achse ist (sagen wir zur Geraden x = b), können wir die Funktion um b Einheiten nach links verschieben. Die daraus entstehende Funktion hat die Form f(x) = h(x + b) und ist achsensymmetrisch zur y-Achse. D.h. es gilt:

h(x + b) = f(x) = f(-x) = h(-x + b).

Dies führt zur folgenden Definition:

Der Graph einer Funktion h heißt achsensymmetrisch, falls es eine reelle Zahl b gibt, sodass für alle reellen Zahlen x gilt: h(b + x) = h(b - x).

...So viel zur Theorie. Um Achsensymmetrie nachzuweisen, musst du also erst einmal diese Zahl b finden. Wenn der Graph gegeben ist, kannst du sie vielleicht raten. Falls nicht, kannst du den Graphen skizzieren und sie dann vielleicht raten.

Wenn du dein b gefunden hast, musst du nur nachrechnen, dass die obige Gleichung h(b+x) = h(b-x) stets erfüllt ist.

Beispiel:

h(x) = x² + 2x + 1.

Vermutung: Die Funktion ist achsensymmetrisch. Die zugehörige Achse ist die Gerade x = -1. 

Beweis der Achsensymmetrie: Sei also b = -1. Es gilt für eine beliebige reelle Zahl x:

h(-1 + x) = (x-1)² + 2(x-1) + 1 = x² und

h(-1 -x) = (-x-1)² + 2(-x-1) + 1 = (-x)² = x². D.h.

h(-1+x) = h(-1-x), was zu zeigen war.

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Kommentar von Pr1meT1me
24.01.2016, 21:29

Übertreib 😂. Aber alles korrekt.

1

Geht es um Symmetrie zur y-Achse oder zu einer Geraden parallel zur y-Achse (x=b). Darauf würde deine Gleichung deuten...

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Sind alle Exponenten gerade -> achsensymmetrisch

Sind alle exponenten ungerade -> punktsymmetrisch

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