Frage von Toternensch, 505

Mathe-Olympiade ich brauche Hilfe bei einer Aufgabe?

HINWEIS:Der Lösungsweg mit Begründung und nebenrechung soll deutlich erkennbar sein.
Du musst also auch erklären, wie du zu Ergebnissen und Teilergebnissen gelangt bist. Stelle deinen Lösungweg logisch korrekt und in grammatisch einwandfreien Sätzen dar!

Aufhabe:
Frank hatte 10 verschlossene, nummerierte Kästen vor sich auf dem Tisch. Die Kästen waren, wie in der Abbildung ( siehe Bild ) dargestellt, kreisförmig angeordnet.

,,Was machst du denn da?", fragte sein Freund Sven neugierig. Frank erklärte ihm:,,ich habe in irgendeinem dieser Kästen einen Zettel mit der Zahl 1 gelegt. Dann habe ich in den im Uhrzeigersinn Nächten Kasten einen Zettel mit der Zahl 2 gelegt, dann wieder im Uhrzeigersinn nächsten Kasten eine 3 und so fort. Bis ich in den letzen Kasten einen Zettel mit der Zahl 10 gelegt habe. Wenn du mir jetzt sagen kannst, wenn du mir jetzt sagen kannst in welchem kasten der Zettel mit deiner Glückszahl 7 liegt, dann bist du ein Hellseher"
,,du könntest mir wenigstens sagen, bei wie vielen Kästen die kastennummer mit der Zahl auf dem Zettel im inneren des Kastens übereinstimmt" meinte Sven.
,,das geht leider nicht. Denn würde ich dir dies sagen, dann wüsstest du, in welchem kasten der Zettel mit der Zahl 7 liegt." Nach dieser Aussage konnte Sven nach einigem nachdenken den richtigen Kasten benennen.
Welche kastennummer hat Sven angegeben?
Erläutere, wie Sven deine korrekte Antwort hergeleitet haben könnte.

Antwort
von girlyglitzer, 337

Hallo!

Ich habe das Problem folgendermaßen gelöst: Zuerst gehst du alle 10 Möglichkeiten durch und notierst die Anzahl der Fixpunkte (das heißt, die Nummer des Kastens ist gleich der Nummer des Zettels) zu jeder Kombination.

Wir wissen von Frank, dass das Problem eindeutig lösbar ist, wenn die Zahl der Fixpunkte bekannt ist. Weiters wissen wir nun (weil wir die Anzahl der Fixpunkte für jede Möglichkeit schon kennen), dass 5 Kombinationen keinen Fixpunkt, 2 Komb. genau einen FP, 2 Komb. genau 2 FP und eine einzige Kombination genau 3 Fixpunkte hat. (Es ist nämlich jene Kombination, wo man die Zahl 1 in den Kasten 1 steckt).

Daraus lässt sich nun die Nummer des Kastens mit der Zahl 7 berechnen, nämlich 7.

Neben diesem naiven Ansatz könnte man sicher auch gruppentheoretische Überlegungen über der Permutationsgruppe S_10 anstellen, ich weiß aber nicht, inwieweit du das schon kennst.

LG girlyglitzer


Kommentar von Toternensch ,

Die 6 hat doch auch 3 Fixpunkte ?

Kommentar von girlyglitzer ,

Hallo!

Du hast recht, die Kombination, die mit der 6 beginnt hat wirklich 3 (und nicht 2) Fixpunkte. Aber jetzt haben wir anstelle von drei Kombinationen mit 2 Fixpunkte nur noch eine Kombination mit 2 Fixpunkten, und das wäre jetzt die, wo der 7er in die 6. Schachtel kommt.

LG girlyglitzer

Kommentar von Toternensch ,

Tut mir echt leid, falls es dich stört, aber könntest du mal bitte senden welche Zahl wie viele Fixpunkte hat ? Ich komm nämlich auf andere Sachen als du :)

Liebe Grüße

Kommentar von girlyglitzer ,
1  3  8  5  10 6  7  2  4  9
-----------------------------
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3FP
2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2FP <--
3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 0FP
4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 0FP
5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 1FP
6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 3FP
7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 0FP
8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 0FP
9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 0FP
10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1FP

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