Frage von Toternensch, 584

Mathe-Olympiade 8. klasse brauche Hilfe für die Lösung ?

HINWEIS:Der Lösungsweg mit Begründung und nebenrechung soll deutlich erkennbar sein.
Du musst also auch erklären, wie du zu Ergebnissen und Teilergebnissen gelangt bist. Stelle deinen Lösungweg logisch korrekt und in grammatisch einwandfreien Sätzen dar!

Aufgabe:
Ermittle alle durch 72 teilbare, sechsstelligen natürlichen Zahlen, die folgende Bedingung erfüllen:
Trennt man die Zahl nach der zweiten und vierten Ziffer auf, dann verhalten sich die drei so von links nach rechts gebildeten zweistelligen Zahlen in dieser Reihenfolge wie 1 : 2 : 3

Liebe Grüße toternensch

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von HeniH, 313

Eine Zahl die durch 72 teilbar ist, ist gleichzeitig durch 8 und durch 9 teilbar.

Die Teilbarkeitskriterien durch 8 und durch 9 lauten wie folgt:

8 - die letzten 3 Ziffern der Zahl sind durch 8 teilbar

9 - die Quersumme der Zahl ist durch 9 teilbar

Das Kriterium der Teilbarkeit durch 8 ist also recht umständlich und wir können nur versuchen die Endziffern der Teilbarkeit durch 8 zu notieren:

008
016
024
032
040
048
056
064
072
080
088
096
104
112
120
128
136
144
152
160
168
176
184
192
200

ab hier würde es sich wiederholen:


mit den letzten 2 Ziffern identisch wie oben:

208
216
224 usw.

Jetzt kommt die Bedingung hinzu dass die sechsstellige Zahl in Gruppen geteilt zu je 2-stelligen Zahlen im Verhältnis 1:2:3 sein muss.

Also muss die letzte Gruppe durch 3 teilbar sein, denn die erste Gruppe wird eben letzte Gruppe geteilt durch 3 sein und dann die zweite Gruppe, die erste Gruppe multipliziert mit 2 sein.

Von den oben aufgelisteten Zahlen, kommen also als letzte Gruppe nur folgende Zahlen in Frage:


24
48
72
96
12
36
60
84

davon können wir ebenso 12 und 24 ausschließen, da 12:3 = 4 und 24 :3 = 8 ist und die erste Gruppe wäre demnach keine 2-stellige Zahl, was dazu führt dass die ganze Zahl nicht 6-stellig sondern nur 5-stellig wäre.

Uns bleiben also folgende Zahlen als dritte Gruppe (nach Größe geordnet):

36
48
60
72
84
96

Dann bauen wir (achtend auf die 1:2:3 Verhältnisregel), die möglichen Zahlen:

122436

163248

204060

244872

285684

326496

diese Zahlen sind alle durch 8 teilbar, aber um durch 72 teilbar zu sein, müssen sie ebenso durch 9 teilbar sein, also ihre Quersumme ist ein Vielfaches von 9.

Quersumme ist:

122436 =  18 Ja (also durch 9 teilbar)

163248 =  24 Nein

204060  = 12 Nein

244872  =  27 Ja (also durch 9 teilbar)

285684  = 33 Nein

326496  = 25 Nein


Die Zahlen die also auch unser Teilbarkeitskriterium durch 9  erfüllen sind:

122436

und

244872

Aber davon ist die erste 122436 nicht durch 8 teilbar, da 436:8 = 54,5 und muss demnach ausgeschlossen werden.

Die einzige Zahl die alle Kriterien erfüllt, ist:

244872


Prüfung:

244872 : 72 = 3401

und 24 : 48 : 72 stehen in dem Verhältnis 1: 2 : 3 zueinander!


LG,


HeniH

Kommentar von Luksior ,

Dass die Matheolympiade ein freiwilliger Wettbewerb ist, der leistungsstarke Schüler fördern sollte, ist dir klar? Mit Vorposten des kompletten Lösungsweges ist hier niemandem geholfen, wenn der Fragesteller zu dumm ist, um die Aufgabe selber zu lösen.

Kommentar von HeniH ,

Ich finde die Aufgabe ist nicht leicht und es soll für den sich vorbereitenden Schüler eine Anleitung der Denkstruktur sein, wie man solche Aufgaben überhaupt angeht.

Ich bin Mathelehrer und finde dass es hier lehrreich ist und der Schüler auch an Erfahrung gewinnt was auf ihn bei der Olympiade zukommt

Expertenantwort
von MeRoXas, Community-Experte für Mathe, 251

Ist der Sinn einer Mathematik-Olympiade nicht irgendwie, sich die Lösung selber zu erarbeiten, um sich selbst zu fordern?

Kommentar von Luksior ,

Ja, ich hab die Frage deswegen auch gemeldet, aber der Support ist sich mal wieder zu fein, was zu machen. Hauptsache, Leute für 24 Stunden bannen, weil sie "sch***e" schreiben

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