Mathe /oberstufe/ orthogonal?

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2 Antworten

orthogonal: rechtwinkelig

wie verhalten sich die Steigungen zweier rechtwinkeligen Geraden zueinander?

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Kommentar von Lisa11362
01.10.2016, 20:45

Ich weiß das ja ,aber ich weiß nicht wie man genau die zwei aufgaben lösen soll. Es wäre echt nett , wenn sie mir erklären würden ,wie die zwei Aufgaben detailliert berechnet werden. :)

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Hi,

spontan fallen mir zwei Lösungsansätze ein. Ich werde dir beide (an Beispiel 1) erläutern und welche du nimmst, darfst du entscheiden :D

Methode 1: Über die Steigung gehen (AnaIysis)

Die Funktion geht durch den Punkt P(1|2) und ist orthogonal zur Geraden durch Q(-4|2) und R(0|-6). 

Zunächst bestimmen wir die Gerade, die durch die Punkte Q und R verläuft. Dazu nehmen wir unsere schöne Formel m = (y2-y1)/(x2-x1) her. Das setzen wir also ein und erhalten:

m1 = (-6-2)/(0-(-4)) = -8/4 = -2

Nun kennen wir die Steigung der Geraden 1. Vermutlich musst du die komplette Geradengleichung von g angeben. Dazu setzen wir im Regelfall m und einen der Punkte Q und R in y = mx+b ein und lösen nach b auf. Allerdings ist im Punkt R x = 0 und damit schneidet die Gerade g die y-Achse bei y = -6. Unsere Geradengleichung lautet also:

g: y = -2x -6

Nun wollen wir die dazu orthogonale (= senkrechte) Gerade. Um die Steigung der Geraden h zu erhalten, nehmen wir den reziproken Wert von m1 und vertauschen das Vorzeichen. Die Steigung von h beträgt somit m2 = 1/2.

Nun soll h durch den Punkt P(1|2) gehen. Hier müssen wir oben Erläutertes anwenden:

2 = 1*(1/2) + b | ausmultiplizieren
2 = 1/2 + b | -1/2
1,5 = b

Also lautet die Gleichung:

h: y = 1/2x +1,5

Methode 2: Über das Skalarprodukt gehen (analytische Geometrie)

Hier gehen wir ähnlich vor, nur, dass wir mit Vektoren arbeiten. Wir haben wieder unsere Punkte

P(1|2), Q(-4|2) und R(0|-6).

Nun stellen wir wieder zunächst unsere Geradengleichung für die Gerade g auf. Dazu bestimmen wir zunächst den Ortsvektor des Punktes Q (im Folgenden immer Pfeil drüber denken, Vektoren stelle ich mit / statt mit | dar):

OQ = a = (-4/2)

Nun brauchen wir den Richtungsvektor, d.h. den Vektor, der von Q nach R führt:

m1 = (4/-8)

Die Gleichung unserer Geraden g lautet also:

g: x = (-4/2) + t*(4/-8)

Nun wollen wir wieder die dazu orthogonale Gerade haben. Dazu muss das Skalarprodukt der Richtungsvektoren null sein. Das heißt:

m1 * m2 = 0

Wir erhalten somit folgende Gleichung:

4x - 8y = 0
x - 2y = 0
x = 2y

Den y-Wert darfst du frei wählen, da du die Länge des Vektors selbst aussuchen "darfst". Die Richtung bleibt dieselbe und die Orthogonalität bleibt auch erhalten (diese Methode benutzt man gern im dreidimensionalen Raum), da du durch die Gleichung das Verhältnis von x- und y-Komponente eindeutig bestimmt hast. Wir sagen mal, y = 2; damit ist x = 4.

Nun noch der Ortsvektor - das ist der Vektor vom Ursprung zum Punkt P:

Die Gleichung für h lautet also:

h: x = (1/2) + s*(2/4)

Das waren beide Wege, die man gehen kann. Ich hoffe, dass ich dir etwas weiterhelfen konnte :)

Bei Fragen melde dich!

LG

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Kommentar von DieChemikerin
01.10.2016, 21:36

Moment, in Methode zwei hat sich irgendwie ein Fehler eingeschlichen. Weiß auch, wo: Der Richtungsvektor von der Geraden h muss natürlich m2 = (4|2) sein!!!

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